Liczby pierwsze

[rhomcio]

Proszę o pomoc w kilku zadaniach z liczbami pierwszymi:

1) Udowodnić następujące twierdzenie:
Liczby całkowite a i b takie, że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) lub \(\displaystyle{ b \neq 0}\) są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy gdy istnieją liczby całkowite x i y takie, że \(\displaystyle{ a x + b y = 1}\)

2) Znaleźć taką liczbę naturalną n, że f(n) jest liczbą złożoną
\(\displaystyle{ f(n)= n^{2} +n+17}\)

3) Znaleźć najmniejszą liczbę złożoną postaci \(\displaystyle{ 3^{n}+ 2}\)

4) Pokazać, że spośród liczb postaci \(\displaystyle{ 2p + 1}\), gdzie p jest liczbą pierwszą, tylko jedna jest sześcianem pewnej liczby tej postaci

5) Jakie liczby między 2320 i 2350 są pierwsze? (nie używając tabel z liczbami pierwszymi)

6) Dowieść, że przy wszelkim całkowitym k liczby \(\displaystyle{ 2k + 1}\) i \(\displaystyle{ 9k + 4}\) są względnie pierwsze, a dla liczb \(\displaystyle{ 2k – 1}\) i \(\displaystyle{ 9k + 4}\) znaleźć ich największy wspólny dzielnik w zależności od liczby k

7) Dowieść, że jeżeli a i b są różnymi liczbami całkowitymi, to istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że liczby \(\displaystyle{ a + n}\), \(\displaystyle{ b + n}\) są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi.

8) Dowieść, że dla każdej liczby parzystej \(\displaystyle{ n > 6}\) istnieją liczby pierwsze p i q, mniejsze od \(\displaystyle{ n – 1}\) takie, że \(\displaystyle{ (n – p, n – q) = 1}\)

[kammeleon18]

2) Po prostu 17

[rhomcio]

podbijam temat bo nadal mam problemy z tymi zadaniami

[pawelsuz]

6) Pierwsza część:
Załóżmy, że d jest ich wspólnym dzielnikiem. Wtedy d dzieli obie te liczby, wielokrotności tych liczb oraz róznice tych liczb. Zatem:
\(\displaystyle{ d|2k+1 \Rightarrow d|8k+4 \\ d|9k+4 \wedge d|8k+4 \Rightarrow d|(9k+4-(8k+4))=k \\ d|k \wedge d|2k+1 \Rightarrow d|1}\)
a to już oczywista sprzeczność.

[mol_ksiazkowy]

ad 3 n=5 , tj \(\displaystyle{ 3^5+2}\) dzieli sie przez 5

ad4 \(\displaystyle{ 2p+1=m^3}\) to \(\displaystyle{ 2p= (m-1)(m^2+m+1)}\) to \(\displaystyle{ m-1 =2}\) lub \(\displaystyle{ m-1=1}\)
a wiec \(\displaystyle{ m=3, p=13}\)-- 26 listopada 2009, 17:48 --ad 7 \(\displaystyle{ n=p-a}\) p bedzie dowolna liczna pierwsza , nie bedaca dzielnikiem b-a