Witam...
Jak udowodnic ze \(\displaystyle{ a^n-b^n}\) dzieli się przez\(\displaystyle{ a-b}\)?
Podzielność poteg liczb
Podzielność poteg liczb
z tożsamości \(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}\cdot b+...+b^{n-1})}\) ?
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Podzielność poteg liczb
Można też z twierdzenia Bezout. Rozważmy wielomian:
\(\displaystyle{ W(x)=x^n-b^n}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ b}\) jest jego pierwiastkiem, a zatem z rzeczonego twierdzenia istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ V}\) o współczynnikach rzeczywistych, że:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-b)V(x)}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x=a}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b)V(a)}\)
skąd natychmiast wynika żądana podzielność.
Q.
\(\displaystyle{ W(x)=x^n-b^n}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ b}\) jest jego pierwiastkiem, a zatem z rzeczonego twierdzenia istnieje taki wielomian \(\displaystyle{ V}\) o współczynnikach rzeczywistych, że:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-b)V(x)}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x=a}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b)V(a)}\)
skąd natychmiast wynika żądana podzielność.
Q.