Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.
Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ r_1}\), \(\displaystyle{ r_2}\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ r_1 < r_2}\), to istnieje liczba wymierna \(\displaystyle{ q}\) taka, że:
\(\displaystyle{ r_1 < q < r_2}\).
Wskazówka: Skorzystać z twierdzenia zwanego Zasadą Archimedesa:
Jeżeli x, y są liczbami rzeczywistymi oraz y>0, to istnieje liczba całkowita k taka, że:
\(\displaystyle{ (k-1)y \leq x < ky}\).
W odpowiedziach jest jeszcze napisane: Przyjąć \(\displaystyle{ y=r_2 - r_1}\), \(\displaystyle{ x=1}\), a następnie \(\displaystyle{ y=1}\), \(\displaystyle{ x=kr_1}\), gdzie k jest liczbą całkowitą występującą w tezie Zasady Archimedesa.
Jak mam skorzystać z tej zasady? Czemu mam przyjąć takie zależności jak w odpowiedziach?
\(\displaystyle{ r_1 < q < r_2}\).
Wskazówka: Skorzystać z twierdzenia zwanego Zasadą Archimedesa:
Jeżeli x, y są liczbami rzeczywistymi oraz y>0, to istnieje liczba całkowita k taka, że:
\(\displaystyle{ (k-1)y \leq x < ky}\).
W odpowiedziach jest jeszcze napisane: Przyjąć \(\displaystyle{ y=r_2 - r_1}\), \(\displaystyle{ x=1}\), a następnie \(\displaystyle{ y=1}\), \(\displaystyle{ x=kr_1}\), gdzie k jest liczbą całkowitą występującą w tezie Zasady Archimedesa.
Jak mam skorzystać z tej zasady? Czemu mam przyjąć takie zależności jak w odpowiedziach?
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.
załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ 0<r1<r2}\). korzystając z zasady A znajduję k naturalne takie, że \(\displaystyle{ 1<k(r_2-r_1)}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{k}<r_2-r_1}\) tzn. \(\displaystyle{ r_1+\frac{1}{k}<r_2}\). teraz znajduję takie m naturalne, że \(\displaystyle{ (m-1)\cdot \frac{1}{k}\le r_1<m\cdot \frac{1}{k}}\) ze względu na poprzednią nierówność widzimy, że liczba \(\displaystyle{ r_1<\frac{m}{k}<r_2}\).
krótko mówiąc: idea jest taka, by znaleźć tak małą liczbę postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\), by któraś liczba wymierna postaci \(\displaystyle{ \frac{m}{k}}\) leżała między \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ r_2}\). intuicyjnie jest to jasne (?), formalnie robi się to za pomocą zasady A. przypadek innych r_2 i r_1 zostawiam Tobie.
krótko mówiąc: idea jest taka, by znaleźć tak małą liczbę postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\), by któraś liczba wymierna postaci \(\displaystyle{ \frac{m}{k}}\) leżała między \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ r_2}\). intuicyjnie jest to jasne (?), formalnie robi się to za pomocą zasady A. przypadek innych r_2 i r_1 zostawiam Tobie.
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.
Ok, rozumiem, że tutaj \(\displaystyle{ r_1<\frac{m}{k}}\). Ale nie rozumiem, dlaczego \(\displaystyle{ r_2>\frac{m}{k}}\)?
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.
\(\displaystyle{ (m-1)\cdot \frac{1}{k}\le r_1<m\cdot \frac{1}{k}}\) do tej nierówności dodaj stronami 1/k i spójrz na poprzednią.
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.
Ok, to już jasne. Ale nadal jakoś nie mogę pojąć samego dowodu. Skąd wiadomo, które liczby podstawiać do Zasady Archimedesa?
Rozumiem, że jeszcze mam rozpatrzyć przypadki, gdy obie liczby rzeczywiste są ujemne i gdy są różnych znaków?
Rozumiem, że jeszcze mam rozpatrzyć przypadki, gdy obie liczby rzeczywiste są ujemne i gdy są różnych znaków?
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.
tak, ale przypadek obu ujemnych sprowadza się do już rozważonego przypadku przez kombinacje ze znakami, a przypadek x<0<y można załatwić wybierając wymierną między y/2 i y._Mithrandir pisze:Rozumiem, że jeszcze mam rozpatrzyć przypadki, gdy obie liczby rzeczywiste są ujemne i gdy są różnych znaków?
Kombinuj tak, żeby wyszło. Rozważ ideę dowodu._Mithrandir pisze:Ok, to już jasne. Ale nadal jakoś nie mogę pojąć samego dowodu. Skąd wiadomo, które liczby podstawiać do Zasady Archimedesa?
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.
Ale tak nie do końca wiem do czego mam dojść Z tego co widzę, powinienem w każdym przypadku uzyskać nierówność typu \(\displaystyle{ r_1 < \frac{m}{n} = q < r_2}\) tak jak to wyżej zrobiłeś, tak?
A da się to zrobić bez Zasady Archimedesa? Nie chcę oczywiście rezygnować z tego dowodu, tylko tak z ciekawości pytam, bo napisałeś wcześniej, że dowodzi się tego właśnie z tej zasady. Czy tylko z niej?
A da się to zrobić bez Zasady Archimedesa? Nie chcę oczywiście rezygnować z tego dowodu, tylko tak z ciekawości pytam, bo napisałeś wcześniej, że dowodzi się tego właśnie z tej zasady. Czy tylko z niej?
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.
jeżeli a<b<0, to 0<-b<-a i między (-b) i (-a) wciskasz wymierną - to można zrobić na mocy już udowodnionego: -b<r<-a. teraz wracasz: a<-r<b.
myślę, że bez zasady A nie da się tego pokazać - w takim sensie, że musiałbyś mieć inne, równe silne narzędzie. przecież nasze rozważania pokazują, że konsekwencją zasady A jest fakt, że Q jest gęsty w R, a więc co najmniej coś takiego powinieneś mieć - czyli dowodziłbyś coś, miałbyś założone. zajrzyj tu:
na pierwszy rzut oka, nie korzystając z zasady A trzeba by odwoływać się do aksjomatu ciągłości (o kresach)
myślę, że bez zasady A nie da się tego pokazać - w takim sensie, że musiałbyś mieć inne, równe silne narzędzie. przecież nasze rozważania pokazują, że konsekwencją zasady A jest fakt, że Q jest gęsty w R, a więc co najmniej coś takiego powinieneś mieć - czyli dowodziłbyś coś, miałbyś założone. zajrzyj tu:
na pierwszy rzut oka, nie korzystając z zasady A trzeba by odwoływać się do aksjomatu ciągłości (o kresach)
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.
Myślę, że na tym możemy zakończyć temat. Dzięki za pomoc