Dowód, że między liczbami rzeczywistymi jest wymierna.

[_Mithrandir]

Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ r_1}\), \(\displaystyle{ r_2}\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ r_1 < r_2}\), to istnieje liczba wymierna \(\displaystyle{ q}\) taka, że:

\(\displaystyle{ r_1 < q < r_2}\).

Wskazówka: Skorzystać z twierdzenia zwanego Zasadą Archimedesa:
Jeżeli x, y są liczbami rzeczywistymi oraz y>0, to istnieje liczba całkowita k taka, że:
\(\displaystyle{ (k-1)y \leq x < ky}\).

W odpowiedziach jest jeszcze napisane: Przyjąć \(\displaystyle{ y=r_2 - r_1}\), \(\displaystyle{ x=1}\), a następnie \(\displaystyle{ y=1}\), \(\displaystyle{ x=kr_1}\), gdzie k jest liczbą całkowitą występującą w tezie Zasady Archimedesa.

Jak mam skorzystać z tej zasady? Czemu mam przyjąć takie zależności jak w odpowiedziach?

[klaustrofob]

załóżmy najpierw, że \(\displaystyle{ 0<r1<r2}\). korzystając z zasady A znajduję k naturalne takie, że \(\displaystyle{ 1<k(r_2-r_1)}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{k}<r_2-r_1}\) tzn. \(\displaystyle{ r_1+\frac{1}{k}<r_2}\). teraz znajduję takie m naturalne, że \(\displaystyle{ (m-1)\cdot \frac{1}{k}\le r_1<m\cdot \frac{1}{k}}\) ze względu na poprzednią nierówność widzimy, że liczba \(\displaystyle{ r_1<\frac{m}{k}<r_2}\).

krótko mówiąc: idea jest taka, by znaleźć tak małą liczbę postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\), by któraś liczba wymierna postaci \(\displaystyle{ \frac{m}{k}}\) leżała między \(\displaystyle{ r_1}\) i \(\displaystyle{ r_2}\). intuicyjnie jest to jasne (?), formalnie robi się to za pomocą zasady A. przypadek innych r_2 i r_1 zostawiam Tobie.

[_Mithrandir]

Ok, rozumiem, że tutaj \(\displaystyle{ r_1<\frac{m}{k}}\). Ale nie rozumiem, dlaczego \(\displaystyle{ r_2>\frac{m}{k}}\)?

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ (m-1)\cdot \frac{1}{k}\le r_1<m\cdot \frac{1}{k}}\) do tej nierówności dodaj stronami 1/k i spójrz na poprzednią.

[_Mithrandir]

Ok, to już jasne. Ale nadal jakoś nie mogę pojąć samego dowodu. Skąd wiadomo, które liczby podstawiać do Zasady Archimedesa?

Rozumiem, że jeszcze mam rozpatrzyć przypadki, gdy obie liczby rzeczywiste są ujemne i gdy są różnych znaków?

[klaustrofob]

Rozumiem, że jeszcze mam rozpatrzyć przypadki, gdy obie liczby rzeczywiste są ujemne i gdy są różnych znaków?

tak, ale przypadek obu ujemnych sprowadza się do już rozważonego przypadku przez kombinacje ze znakami, a przypadek x<0<y można załatwić wybierając wymierną między y/2 i y.

Ok, to już jasne. Ale nadal jakoś nie mogę pojąć samego dowodu. Skąd wiadomo, które liczby podstawiać do Zasady Archimedesa?

Kombinuj tak, żeby wyszło. Rozważ ideę dowodu.

[_Mithrandir]

Ale tak nie do końca wiem do czego mam dojść Z tego co widzę, powinienem w każdym przypadku uzyskać nierówność typu \(\displaystyle{ r_1 < \frac{m}{n} = q < r_2}\) tak jak to wyżej zrobiłeś, tak?

A da się to zrobić bez Zasady Archimedesa? Nie chcę oczywiście rezygnować z tego dowodu, tylko tak z ciekawości pytam, bo napisałeś wcześniej, że dowodzi się tego właśnie z tej zasady. Czy tylko z niej?

[klaustrofob]

jeżeli a<b<0, to 0<-b<-a i między (-b) i (-a) wciskasz wymierną - to można zrobić na mocy już udowodnionego: -b<r<-a. teraz wracasz: a<-r<b.

myślę, że bez zasady A nie da się tego pokazać - w takim sensie, że musiałbyś mieć inne, równe silne narzędzie. przecież nasze rozważania pokazują, że konsekwencją zasady A jest fakt, że Q jest gęsty w R, a więc co najmniej coś takiego powinieneś mieć - czyli dowodziłbyś coś, miałbyś założone. zajrzyj tu:



na pierwszy rzut oka, nie korzystając z zasady A trzeba by odwoływać się do aksjomatu ciągłości (o kresach)

[_Mithrandir]

Myślę, że na tym możemy zakończyć temat. Dzięki za pomoc