Trzy podzielności

[mol_ksiazkowy]

1) Wyznacz wszystkie takie n (liczby naturalne, ) iz
\(\displaystyle{ n+2}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n^2+2}\)

2) Wyznacz wszystkie takie n (liczby naturalne, ) iz
\(\displaystyle{ n^2+2}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n^6+206}\)

3) Wyznacz wszystkie takie n (liczby naturalne, ) iz
\(\displaystyle{ n^3+2}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n^6+216}\)

[Lukasz_C747]

1)\(\displaystyle{ n^2+2 = k*(n+2)\\
k = \frac{n^2+2}{n+2} = \frac{(n-2)(n+2)+6}{n+2} = n-2+\frac{6}{n+2}}\)
"k" musi także być naturalne, czyli spełniają to tylko "n" równe 1 lub 4 (0, jeśli uwzględniamy je w naturalnych).
Reszta chyba też by się z tego dała zrobić, ale wtedy to by było zadanie obliczeniowe, a domyślam się, że chodzi o jakiś pomysł.

[klaustrofob]

tak jak Lukasz_C747: \(\displaystyle{ n^6+206=(n^2+2)(n^4-2n^2+4n)+198}\) czyli wystarczy zbadać, kiedy \(\displaystyle{ \frac{198}{n^2+2}}\) jest liczbą całkowitą. ponieważ 198=2*9*11, więc dla n nieparzystych \(\displaystyle{ n^2+2}\) musi dzielić 99. jest tak dla n=1 i n=3. z n parzystych nadają się 0, 2, 4, 14.