Kolorowanie mapy i inne

[Citizen]

1) Do pomalowania płaszczyzny w pewien wzór użyto dwóch kolorów. Uzasadnij, że istnieją dwa punkty różnych kolorów pomiędzy którymi odległośc jest równa 1.

2) Czy do pokolorowania mapy, na której wszystkie państwa mają kształt trójkątów, tak aby państwa sąsiadujące wzdłuż odcinka miały inny kolor wystarczą 3 kolory?

3) 30 prostych równoległych przecięto 20 innymi prostymi równoległymi. Ile równoległoboków powstało?

4) Wykaż, że jeśli a i b są takimi liczbami naturalnymi, że \(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ a+b}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego \(\displaystyle{ a^{2n}+b^{2n}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ (a+b)^{n}}\).

5) Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{n}}\) to równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{x-a_{1}}+ \frac{1}{x-a_{2}}+...+ \frac{1}{x-a_{n}} =0}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\) pierwiastków.

6) Ile zer stoi na końcu zapisu liczby \(\displaystyle{ 2001!}\) w systemie dwójkowym?


I jeszcze jedna sprawa. Czytałem rozwiązanie do zadania : "Jakie liczby całkowite m i n spełniają równośc \(\displaystyle{ 1!+2!+3!+...+n!=m^{2}}\)" W rozwiązaniu było napisane, że należy rozpatrywać n<5 ponieważ dla \(\displaystyle{ n \ge 5}\) zapis dziesiętny każdej kolejnej silni kończy się zerem więc cała suma kończy się na 3. Dlaczego taki warunek jest sprzeczny z zadaniem? Kwadrat liczby naturalnej nie kończy się na 3?

Pozdrawiam

[silicium2002]

1 --> dowód nie wprost

2 --> wystarczą dwa kolory

3 --> \(\displaystyle{ liczba / / rownoleglobokow = (30 - 1) \cdot (20 - 1)}\)

4 --> \(\displaystyle{ a^{2} + ab + b^{2} = (a+b)^{2} - ab}\)

[Citizen]

Możesz pokazać jak rozumujesz w 2?

3 - nie ma tak łatwo, nie chodzi tylko o te "małe" romby, ale też o te które będą zbudowane z np. 5 tych mniejszych itp. Wydaje mi się, że trzeba je uwzględniać.

4 - no tak ten wzór jest jasny, teraz a+b|ab no i babrałem się z indukcją, ale może jest jakiś fajniejszy sposób. Jeżeli dobrnąleś do końca to pokaż proszę co i jak

[mol_ksiazkowy]

I jeszcze jedna sprawa. Czytałem rozwiązanie do zadania : "Jakie liczby całkowite m i n spełniają równośc 1!+2!+3!+...+n!=m^{2}" W rozwiązaniu było napisane, że należy rozpatrywać n<5 ponieważ dla n ge 5 zapis dziesiętny każdej kolejnej silni kończy się zerem więc cała suma kończy się na 3. Dlaczego taki warunek jest sprzeczny z zadaniem? Kwadrat liczby naturalnej nie kończy się na 3?

Tu chodzi o to ze kwadrat dowolnej liczby naturalnej przy dzieleniu przez 5 nie daje reszty 3.

[Citizen]

ahh no tak, dziękuję ;D

[silicium2002]

Możesz pokazać jak rozumujesz w 2?

3 - nie ma tak łatwo, nie chodzi tylko o te "małe" romby, ale też o te które będą zbudowane z np. 5 tych mniejszych itp. Wydaje mi się, że trzeba je uwzględniać.

4 - no tak ten wzór jest jasny, teraz a+b|ab no i babrałem się z indukcją, ale może jest jakiś fajniejszy sposób. Jeżeli dobrnąleś do końca to pokaż proszę co i jak

2. trójkąt ma trzy boki. a więc styka się z trzema trójkątami, z czego jeżeli dwa z nich stykają się bokami wzajemnie i z tym "pierwszym trójkątem, to ich boki leżą na jednej prostej i nie mogą się już zstykać jednocześnie z 3 trójkątem, a więc tamten malujemy na jeden z tych kolorów jakie użyliśmy wcześniej wobec tego wystarczą 3 kolory, pogmatwane ;/

3. masz rację postram sięto za chwilę doliczyć

4. eeee szczerze mówiąc zarzuciłem tylko pomysłem, nie liczyłem, ale może indukcja nie jest taka zła

[xiikzodz]

2. Dwa kolory na pewno nie wystarczają w ogólności. Żeby to zobaczyć wystarczy ułożyć trójkąty w cykl nieparzystej długości.

Trzy kolory wystarczają na mocy tw. Brooksa zastosowanego do grafu, którego wierzchołkami są państwa połączone krawędzią, gdy sąsiadują. Twierdzenie, przetłumaczone na mapy, powiada, że jeśli każde państwo ma niewięcej niż \(\displaystyle{ k}\) sąsiadów, to mapę da się pomalować \(\displaystyle{ k}\) kolorami. Dowód indukcyjny, można znaleźć u Wilsona - prosty, ale jest trochę pisania, nawet jeśli dowodzimy tylko w przypadku kubicznym.

[Citizen]

No to zostało 3, 5 i 6 ;d

[xiikzodz]

To są już trywialne zadania. W 3. jest tyle ile wyborów dwóch par równoległych boków czyli \(\displaystyle{ \binom{30}2\cdot\binom{20}2}\),

5. sprowadzamy do wspólnego mianownika,

6. zliczamy nieparzyste wielokrotności \(\displaystyle{ 2^i}\) wśród liczb niewiększych niż 2001, to znaczy liczba, ktora dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^i}\) i żadną większą potęgę \(\displaystyle{ 2}\) dodaje \(\displaystyle{ i}\) zer w liczbie 2001!.