Czy liczb pierwszych jest nieskonczenie wiele???

[Goja]

Moze ktos postara sie odpowiedziec na to pytanie ? czekam na ciekawe rozwiazania

[juzef]

Kod: Zaznacz cały

http://www.google.pl

[aikon]

[gre11]

Gdyby ich było skończenie wiele - \(\displaystyle{ n}\)...
\(\displaystyle{ a_1 \cdot ... \cdot a_n+1}\) - nie jest to liczba pierwsza \(\displaystyle{ a_i|1}\), co jest fałszem => liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

[Chris Aprilsky]

Gre11 bzdury wypisujesz. Coś świtało ale niedokładnie przyjrzałeś się szczegółom.
A szczegóły są ważne.
Przede wszystkim iloczyn skończonej liczby liczb pierwszych zwiększony o \(\displaystyle{ 1}\) czyli \(\displaystyle{ (a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n)+1}\) może być liczbą pierwszą i może być liczbą złożoną.
Np. \(\displaystyle{ (2 \cdot 3)+1 = 7}\) - JEST pierwsza.

Piszesz "Jest podzielna przez którąś z nich", tzn \(\displaystyle{ 7}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) czy przez \(\displaystyle{ 3}\) bo nie jestem pewien.

Piszesz "Jest większa więc jest podzielna" ??? Co ma wspólnego większość z podzielnością?

K.

Euklides, ten to miał łeb.

[Jan Kraszewski]

Witam na forum kolejnego archeologa... Następny post bez \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a trafi do Kosza.

JK

[Chris Aprilsky]

Sorki, już się wypisuję. Nie jestem archeologiem. Myślałem, że to forum matematyczne.
K.

[Jan Kraszewski]

Sorki, już się wypisuję. Nie jestem archeologiem. Myślałem, że to forum matematyczne.

Forum jest matematyczne, ale jeżeli polemizujesz z postem sprzed 13 lat, to przy okazji jesteś archeologiem (który taki temat wykopał...).

JK

[Jakub Gurak]

Nie szkodzi.

Gdyby liczy pierwszych było skończenia wiele, oznaczmy je tak jak wyżej \(\displaystyle{ Z= \left\{ a_{1.},a _{2},\ldots ,a _{n} \right\}}\) to wtedy liczba\(\displaystyle{ a _{1} \cdot a _{2} \cdot\ldots a _{n}+1}\) byłaby pierwsza( bo przy dzieleniu przez każdą liczbę pierwszą \(\displaystyle{ a _{1}, a_{2},\ldots, a _{n}}\) daje resztę 1, a więc się nie dzieli), a ponieważ \(\displaystyle{ x= a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots a_{n}+1}\) jest większa od każdej liczby pierwszej, więc \(\displaystyle{ x \notin Z}\). Tymczasem x jest pierwsza, więc należy do zbioru wszystkich liczb pierwszych, a więc \(\displaystyle{ x \in Z}\). Otrzymujemy sprzeczność, która kończy dowód, i oznacza że liczb pierwszych nie może być skończenie wiele, zatem musi ich być nieskończenie wiele.

Przestroga Proszę nie używać chwytu tego dowodu, do produkcji nowych liczb pierwszych. Chwyt tego dowodu działa tylko na potrzeby tego dowodu. W szczególności ponieważ wiemy, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, to nie sposób je wszystkie wymnożyć. To nie jest metodą wyznaczania liczb pierwszych, to tylko dowód że zbiór takich liczb pierwszych jest nieskończony.

[Brombal]

Skoro temat odżył a 2006 to był fajny rok...
Czy dowód jest ważny gdy jedyneczkę odejmiemy?

\(\displaystyle{ x= a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots a_{n}-1}\) ?

[Jakub Gurak]

Chyba tak, możesz analogiczny dowód przeprowadzić.

[Rozbitek]

Brombal, wydaje mi się, ze trzeba uzasadnić, że \(\displaystyle{ a_1a_2\cdots a_n -1 > a_n}\) i wtedy jest git.