Czy istnieje kwadrat o pewnym zapisie

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Citizen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 27 maja 2009, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 36 razy

Czy istnieje kwadrat o pewnym zapisie

Post autor: Citizen »

1) Czy istnieje taka liczba naturalna, że jej kwadrat ma zapis \(\displaystyle{ xxxyyy}\)?

2) Między cyfru dwucyfrowej liczby \(\displaystyle{ x}\) wstawiamy zero i od otrzymanej w ten sposób liczby odejmujemy \(\displaystyle{ x}\), otrzymując liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ k}\). Dla ilu naturalnych wartości \(\displaystyle{ k}\) jest to możliwe?

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Czy istnieje kwadrat o pewnym zapisie

Post autor: klaustrofob »

xxxyyy=111*x000+111*y=111*x00y=3*37*x00y. możliwe reszty z dzielenia kwadratu przez 8 to 0,1,4. ponieważ liczba 111 daje z dzielenia przez 8 resztę 7, a x00y daje taką resztę jak y otrzymujemy kombinacje: y=0 -> reszta 0; 1->7; 2-> 6, 3->5, 4->4, 5->3, 6->2, 7->1, 8->0, 9->7. do sprawdzenia są więc 0,4,7 i 8. zauważmy, że liczba x00y musi być podzielna przez 111, a zatem 0 odpada, bo x000 nie jest. 7 i 8 odpadają, bo żaden kwadrat nie kończy się na 7 i 8. do sprawdzenia zostaje tylko 4. ponieważ x00y musi być podzielna przez 3 wystarczy jedynie sprawdzić, czy 2004, 5004, 8004 są podzielne przez 111. nie są, czyli liczba xxxyyy nie może być kwadratem
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Czy istnieje kwadrat o pewnym zapisie

Post autor: BettyBoo »

a) jeśli x i y to cyfry oraz \(\displaystyle{ x\neq 0}\), to wówczas \(\displaystyle{ xxxyyy=111(1000x+y)}\). Aby był to kwadrat jakiejś liczby, to musi być \(\displaystyle{ 111|(1000x+y)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 111|999x}\), to z tych dwóch podzielności wynika, że musi być również \(\displaystyle{ 111|(x+y)}\), co jest niemożliwe, jeśli x i y są cyframi.

b) jeśli \(\displaystyle{ x=10a+b}\), to po wstawieniu zera i odjęciu x otrzymamy \(\displaystyle{ 100a+b-10a-b=90a}\). Wystarczy obliczyć, ile dzielników ma ta liczba przy założeniu, że a jest niezerową cyfrą.

Pozdrawiam.
Citizen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 27 maja 2009, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 36 razy

Czy istnieje kwadrat o pewnym zapisie

Post autor: Citizen »

Super dzięki, BettyBoo, powiedz mi tylko dlaczego jeżeli ta liczba ma być kwadratem to \(\displaystyle{ 111}\) musi dzielić \(\displaystyle{ 1000x+y}\)?
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Czy istnieje kwadrat o pewnym zapisie

Post autor: klaustrofob »

bo jeżeli kwadrat liczby dzieli się przez liczbę pierwszą, to już sama liczba musi się przez nią dzielić. skoro kwadrat dzieli się przez 3, to liczba też; przez 37 - liczba też. zatem liczba dzieli się przez \(\displaystyle{ 3^2\cdot 37^2}\). czyli 1000x+y musi się dzielić przez 3*37.
Citizen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 27 maja 2009, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 36 razy

Czy istnieje kwadrat o pewnym zapisie

Post autor: Citizen »

Wszystko jasne, dzięki wielkie ; D
ODPOWIEDZ