2X wykaż, że, 1X znajdź n

[mlp99]

1. Wykaż, że kwadrat każdej liczby naturalnej jest postaci \(\displaystyle{ 3k}\) albo \(\displaystyle{ 3k+1}\) gdy\(\displaystyle{ k \in C}\)

2. Dla jakich wartości naturalnych n liczba \(\displaystyle{ n^{2}+8n-8}\) jest kwadratem liczby naturalnej

3. Wykaż że liczba \(\displaystyle{ 291^{8}+3 \cdot 291 ^{4}-4}\) jest podzielną przez 200.

[mkb]

1. Wskazówka:
Dowolną liczbę naturalną można zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3k+i}\), gdzie \(\displaystyle{ k=0, 1, 2...}\), natomiast \(\displaystyle{ i \in {0,1, 2}}\)

[Aleksina]

\(\displaystyle{ Zad.1}\)
\(\displaystyle{ a) x = 3n}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = (3n) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = 9n ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = 3(3n)}\)
\(\displaystyle{ Gdzie(3n)}\)to nasze k, wiec mamy \(\displaystyle{ x ^{2} = 3k}\)
\(\displaystyle{ b) x = 3n + 1}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = (3n + 1) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = 9n ^{2} + 6n + 1}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = 3(3n ^{2} + 2) + 1}\)
\(\displaystyle{ Gdzie(3n ^{2} + 2)}\) to nasze k, wiec mamy \(\displaystyle{ x ^{2} = 3k + 1}\)
\(\displaystyle{ c) x = 3n + 2}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = (3n + 2) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = 9n ^{2} + 12n + 4}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = 9n ^{2} + 12n + 3 + 1}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = 3(3n ^{2} + 4n + 1) + 1}\)
\(\displaystyle{ Gdzie (3n ^{2} + 4n + 1)}\) to nasze k, wiec mamy \(\displaystyle{ x ^{2} = 3k + 1}\)

[Citizen]

2)
Może da się łatwiej ale można też tak:

\(\displaystyle{ n^{2}+8n-8=m^{2}}\)

\(\displaystyle{ (n^{n}+8n+16-24=m^{2}}\)

\(\displaystyle{ (n+4)^{2}-m^{2}=24}\)

\(\displaystyle{ (n+4-m)(n+4+m)=24}\)

I teraz sporo układów równań do rozpatrzenia

[Aleksina]

Ja rozwiązałem 2 i 3 troszkę inaczej
1)
\(\displaystyle{ n ^{2} + 8n - 8 = k ^{2}}\)
\(\displaystyle{ k,n \in N}\)
kwadratem liczby naturalnej może być zero, więc:
\(\displaystyle{ n ^{2} + 8n - 8 = 0}\)
\(\displaystyle{ 8 = n ^{2} + 8n}\)
\(\displaystyle{ 8 = n(n + 8)}\)
Jedyną liczbą spełniającą równianie jest \(\displaystyle{ 1}\) i to jest rozwiązaniem zadania.

2)Widzimy, że wyrażenie \(\displaystyle{ 291 ^{8} + 3 \cdot 291 ^{4} - 4}\) jest sumą trzech liczb, więc można rozpatrzyć każdą z osobna. Oznaczę je sobie jako k, l, n.
\(\displaystyle{ k = 291 ^{8}}\)
\(\displaystyle{ l = 3 \cdot 291 ^{4}}\)
\(\displaystyle{ l = (-4)}\)
Po rozpisaniu tych liczb mamy następującą sytuację:
\(\displaystyle{ k = 200x + 1 \equiv 1(mod200)}\)
\(\displaystyle{ l = 200y + 3 \equiv 3(mod200)}\)
\(\displaystyle{ n = (-4) \equiv 196(mod200)}\)
po dodaniu nam wyjdzie:
\(\displaystyle{ k + l + n \equiv (1 + 3 + 196)(mod200)}\)
\(\displaystyle{ k + l + n \equiv 0(mod200)}\)
To kończy dowód.
P.S.
Liczby k i l mają taką postać. Można to zauważyć częściowo je rozpisując.

[Citizen]

Nie rozumiem dlaczego w pierwszym podstawiłaś 0, może n=1 jest jedynym rozwiązaniem, ale chyba nie możesz po prostu podstawiać 0 (z drugiej strony czy 0 należy do naturalnych to kwestia sporna) równie dobrze możesz podstawić 4 bo też jest kwadratem i wtedy już nie wychodzi. Pokazałaś tylko jeden przypadek ale nie ma tu dowodu, że jest to jedyne rozwiązanie ;P.

2) wytłumacz mi prosze dlaczego zapisałaś \(\displaystyle{ 291^{8}}\) jako \(\displaystyle{ 200x+1}\)? Podsnosiłaś resztę w module 200 do potęgi czy jak? ;p

[Aleksina]

1) Zgadza się. Usiadłem sobie nad drugim i jeszcze raz rozwiązałem. Jednak Twoje rozwiązanie jest w porządku. Przy pisaniu poprzedniego postu źle rozumowałem.
2) Co do postaci \(\displaystyle{ 200x + 1}\) kiedy odpowiednio rozpisze się liczbę \(\displaystyle{ 291 ^{8}}\) to wyjdzie nam taka właśnie jej postać
3) Mógł Cię zmylić mój nick, ale ja jestem facetem xD

[mkb]

W przykładzie 3 można także skorzystać z rozwiązania trójmianu i wzorów skróconego mnożenia, sposób raczej szczególny niż ogólny:
\(\displaystyle{ 291^{8}+3 \cdot 291 ^{4}-4=(291^{4}+4)(291^{4}-1)=}\)
\(\displaystyle{ =(291^{4}+4)(291^{2}+1)(291^{2}-1)=}\)
\(\displaystyle{ =(291^{4}+4)(291^{2}+1)(291+1)(291-1)}\)
W ostatnim wyrażeniu wartości w nawiasach dzielą się kolejno przez 5, 2, 2 i 10, czyli łącznie przez 200.

[kammeleon18]

2)

Jeżeli ma być podzielne przez 200 to musi być podzielne przez 100 i 2.

Tą zasade mozesz stosowac TYLKO dla liczb wzglednie pierwszych!

[Citizen]

SchmudeJanusz, Racja mój błąd (np 100 będzie podzielne przez 2 i 100 ale nie będzie podzielne przez 200) :F usuwam, żeby nie wprowadzać nikogo w błąd