Witam,
nie jestem pewna, czy w dobrym miejscu umieszczam ten temat, jednak mam nadzieję, że ktoś mi pomoże .
Zadanie
Wykaż, że:
a) jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{7}}\) jest liczbą niewymierną, to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{7} - 1}\) też jest liczbą niewymierną;
b) jeśli \(\displaystyle{ \pi}\) jest liczbą niewymierną, to liczba \(\displaystyle{ \frac{\pi+10}{2}}\) też jest liczbą niewymierną;
c) jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\) jest liczbą niewymierną, to liczba \(\displaystyle{ 2 \cdot \sqrt{13} + 5}\) też jest liczbą niewymierną;
d) jeśli \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest liczbą niewymierną, to liczba \(\displaystyle{ 0,1 \cdot (3 - \sqrt[3]{2} )}\) też jest liczbą niewymierną.
Proszę o pomoc. Nie robiliśmy takich zadań na lekcji a jest to nasza praca domowa - nie mam nawet pojęcia jak się do tego zabrać.
Zbiory liczbowe - liceum klasa I, poziom podstawowy
Zbiory liczbowe - liceum klasa I, poziom podstawowy
Ostatnio zmieniony 8 mar 2016, o 22:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Zbiory liczbowe - liceum klasa I, poziom podstawowy
należy skorzystac z definicji liczby wymiernej i niewymiernej:
Liczba \(\displaystyle{ a}\) jest wymierna jeśli \(\displaystyle{ a= \frac{p}{q}}\) dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ p,q}\). Liczba \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierna, jeśli nie jest wymierna.
Zrobię np. b)
Załóżmy nie wprost, że liczba \(\displaystyle{ \frac{\pi+10}{2}}\) jest wymierna. Wtedy istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ p,q}\), takie, że \(\displaystyle{ \frac{\pi+10}{2}= \frac{p}{q}}\)
przekształcając:
\(\displaystyle{ \pi+10= \frac{2p}{q}}\)
\(\displaystyle{ \pi= \frac{2p}{q} -10=\frac{2p-10q}{q}}\)
liczby \(\displaystyle{ 2p-10q}\) i \(\displaystyle{ q}\) są całkowite, zatem z tego wynika, że \(\displaystyle{ \pi}\) jest liczbą wymierną, otrzymujemy sprzeczność, co dowodzi tezy zadania.
Liczba \(\displaystyle{ a}\) jest wymierna jeśli \(\displaystyle{ a= \frac{p}{q}}\) dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ p,q}\). Liczba \(\displaystyle{ a}\) jest niewymierna, jeśli nie jest wymierna.
Zrobię np. b)
Załóżmy nie wprost, że liczba \(\displaystyle{ \frac{\pi+10}{2}}\) jest wymierna. Wtedy istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ p,q}\), takie, że \(\displaystyle{ \frac{\pi+10}{2}= \frac{p}{q}}\)
przekształcając:
\(\displaystyle{ \pi+10= \frac{2p}{q}}\)
\(\displaystyle{ \pi= \frac{2p}{q} -10=\frac{2p-10q}{q}}\)
liczby \(\displaystyle{ 2p-10q}\) i \(\displaystyle{ q}\) są całkowite, zatem z tego wynika, że \(\displaystyle{ \pi}\) jest liczbą wymierną, otrzymujemy sprzeczność, co dowodzi tezy zadania.