wykazać podzielność sumy potęg

mlp99 · Post autor: **mlp99** » 10 lis 2009, o 18:15

Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 3+3 ^{2}+3 ^{3}+...+3 ^{99}+3 ^{100}}\) jest podzielną przez 4

Czoug · Post autor: **Czoug** » 10 lis 2009, o 18:23

wsk. ta liczba jest sumą ciągu geometrycznego, policz sume jego sume i zobaczysz

Dumel · Post autor: **Dumel** » 10 lis 2009, o 18:44

lepiej bez żadnego sumowania:
\(\displaystyle{ 3^{2k} \equiv 1 \ (mod \ 4)}\)
\(\displaystyle{ 3^{2k+1} \equiv -1 \ (mod \ 4)}\)

jerzozwierz · Post autor: **jerzozwierz** » 10 lis 2009, o 19:15

Lepiej łopatologicznie:
\(\displaystyle{ 3+3^{2}=3(1+3)}\)
\(\displaystyle{ 3^{3}+3^{4}=3^{3}(1+3)}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ 3+3^{2}+...+3^{100}=(1+3)(3+3^{3}+3^{5}+...+3^{99})=4(3+3^{3}+3^{5}+...+3^{99})}\)