liczby wymierne

[emila2707]

Udowodnic,że suma oraz iloczyn liczb wymiernych jest liczba wymierną. np. za pomoa indukcji.

[Crizz]

Początek indukcji: suma dwóch liczb \(\displaystyle{ \frac{p}{q},\frac{r}{s}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q,r,s\in Z, q,s \neq 0}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{ps+qr}{qs}}\); zachodzi \(\displaystyle{ ps+qr,qs \in Z, qs=q \cdot s \neq 0}\), zatem suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna
Załozenie indukcyjne: suma n liczb wymiernych jest wymierna
Teza indukcyjna: suma n+1 liczb wymiernych jest wymierna
Dowód: dodawanie jest łączne, zatem możemy najpierw dodać do siebie n liczb z naszej sumy, otrzymamy liczbę wymierną (ząłożenie indukcyjne), do której mamy dodać jeszcze jedną liczbę wymierną. Suma tych dwóch liczb jest wymierna (początek indukcji), zatem suma n+1 liczb jest wymierna, co należało pokazać.

Podobnie będzie z mnożeniem.