Kolejne potęgi i wzór na liczbę

[Maycel]

Witam !

Proszę o pomoc w zadaniu : Wiedząc, że \(\displaystyle{ x^{2}=x+1}\), oblicz kolejne potęgi \(\displaystyle{ x^{3}=? , x^{4}=? , x^{5}=? , x^{6}}\) Podaj wzór na \(\displaystyle{ x^{n}=?}\) . Dziękuję za pomoc.

[Sylwek]

\(\displaystyle{ x^3=x^2 \cdot x = (x+1) \cdot x = x^2 + x = (x+1)+x =2x+1 \\ x^4=x^3 \cdot x = (2x+1) \cdot x = 2x^2+x = 2(x+1)+x = 3x+2}\)

Podpowiem, że współczynniki przy x i wyrazie wolnym będą miały pewien związek z ciągiem Fibonacciego, zrób jeszcze kilka przykładów i powinieneś zauważyć.

[Maycel]

Faktycznie, \(\displaystyle{ x^{n-2}+x^{n-1}=x^{n}}\) , dziękuję ślicznie !