Udowodnienie podzielności

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Adasiek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Udowodnienie podzielności

Post autor: Adasiek » 31 paź 2009, o 17:29

Mam problem z takim zadaniem:
Wykaż że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) należącego do liczb naturalnych liczba \(\displaystyle{ 12 ^{n}-5 ^{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\)
Ostatnio zmieniony 31 paź 2009, o 17:52 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj w tagach [latex].
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Udowodnienie podzielności

Post autor: Lorek » 31 paź 2009, o 17:35

Jest taki wzór na \(\displaystyle{ a^n-b^n=(cos\ tu\ jest)(tu\ tez\ cos\ jest)}\), wystarczy skorzystać

Adasiek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Udowodnienie podzielności

Post autor: Adasiek » 31 paź 2009, o 17:48

No właśnie nie wiem, dla \(\displaystyle{ n=2}\) będzie coś takiego:
\(\displaystyle{ (\sqrt{12}+\sqrt{5})( \sqrt{12}- \sqrt{5} )}\),
ale jak powinno to wyglądać dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)?
Ostatnio zmieniony 31 paź 2009, o 17:53 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj w tagach [latex]. Nastepnym razem taki zapis wyląduje w koszu.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Udowodnienie podzielności

Post autor: Lorek » 31 paź 2009, o 18:16

Dla n=2 będzie coś takiego: \(\displaystyle{ (12-5)(12+5)}\) a dla n>2 wzór jest np. w kompendium (przynajmniej kiedyś był )

kammeleon18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 36 razy

Udowodnienie podzielności

Post autor: kammeleon18 » 31 paź 2009, o 23:23

albo po prostu
\(\displaystyle{ 12 \equiv 5 \ mod \ 7 \\
12^n \equiv 5^n \ mod \ 7 \\
12^n-5^n \equiv 0 \ mod \ 7}\)

ODPOWIEDZ