Udowadnianie podzielnosci w zbiorze liczb calkowitych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
noonamee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 31 paź 2009, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra

Udowadnianie podzielnosci w zbiorze liczb calkowitych

Post autor: noonamee » 31 paź 2009, o 11:07

Prosze o sprawdzenie, czy poprawnie rozwiazuje zadanie i porade w dwoch przypadkach gdzie nie moge dac sobie rady:

a)
\(\displaystyle{ a|b \Rightarrow a|bc}\)
rozwiazanie:
\(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow b=ak \gdzie\ k\in Z}\)
\(\displaystyle{ bc=akc \Rightarrow a\left|bc}\)

b)
\(\displaystyle{ a\left|b \wedge a\left|c \Rightarrow a\left|b+c}\)

rozwiazanie:

\(\displaystyle{ a|b \Leftrightarrow \bigvee\limits_{k\in Z} b=ka}\)

\(\displaystyle{ a|c \Leftrightarrow \bigvee\limits_{l\in Z} c=la}\)

\(\displaystyle{ b+c = ak+al}\)

\(\displaystyle{ b+c=a(k+l) \Rightarrow a|b+c}\)

natomiast naprowadzenia na poprawny tok rozumowania potrzebuje przy udowodnieniu, ze:
\(\displaystyle{ a|b \wedge c|d \Rightarrow ac|bd}\)

oraz

\(\displaystyle{ [(a,b)=1 \wedge a|c \wedge b|c] \Rightarrow ab|c}\) Pokazac, ze jesli \(\displaystyle{ (a,b) \neq 1}\) to implikacja nie jest prawdziwa.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

kammeleon18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 306
Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 36 razy

Udowadnianie podzielnosci w zbiorze liczb calkowitych

Post autor: kammeleon18 » 31 paź 2009, o 23:18

\(\displaystyle{ b=xa \\
d=yc \\
bd=xyac \ wiec \ ac|bd}\)

Mam nadzieje ze jest dobrze:)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Udowadnianie podzielnosci w zbiorze liczb calkowitych

Post autor: Lorek » 1 lis 2009, o 13:36

noonamee pisze:\(\displaystyle{ [(a,b)=1 \wedge a|c \wedge b|c] \Rightarrow ab|c}\) Pokazac, ze jesli \(\displaystyle{ (a,b) \neq 1}\) to implikacja nie jest prawdziwa.
Jak \(\displaystyle{ a=1 \vee b=1}\) to wiadomo. Załóżmy, że \(\displaystyle{ a>1 \wedge b>1}\). Mamy \(\displaystyle{ c=ak, \ c=bl}\), czyli \(\displaystyle{ ak=bl}\) czyli \(\displaystyle{ b|ak}\), ale \(\displaystyle{ (a,b)=1}\). Stąd \(\displaystyle{ b|k}\) czyli \(\displaystyle{ k=bm,\ ak=abm=c}\), stąd \(\displaystyle{ ab|c}\).

A kontrprzykład to znajdziesz sam.

ODPOWIEDZ