Niech \(\displaystyle{ S(n)= \sum_{d |n} \tau(d)}\). Czy istnieja takie n, iz \(\displaystyle{ S(n)=n}\) ?,Jesli tak wyznacz je wszystkie, przy czym \(\displaystyle{ \tau(n)}\) oznacza ilosc dzielników n.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ n = \sum_{d |n} \tau(d)}\), czyli \(\displaystyle{ \sum_{d|n} \tau(d) - \phi (d) = 0}\) (\(\displaystyle{ \phi(x)}\) to funkcja Eulera).
Okazuje się, że \(\displaystyle{ \phi(d) - \tau(d) > 0}\) jedynie dla \(\displaystyle{ d \in \left\{2, 4, 6, 12\right\}}\) (przy czym suma \(\displaystyle{ \phi(d) - \tau(d)}\) dla tych liczb wynosi 6). (wystarczy rozpisać \(\displaystyle{ d}\) jako iloczyn potęg liczb pierwszych i pobawić się otrzymana nierównością). Suma ujemnych składników rozpatrywanej sumy, musi być więc większa niż \(\displaystyle{ -6}\), co prowadzi do wniosku, że \(\displaystyle{ p|n \wedge p \in P \Rightarrow p \le 5}\). (gdyż \(\displaystyle{ \phi (p) - \tau(p) = p-2}\) (dla \(\displaystyle{ p=7}\) to nie wystarczy, ale \(\displaystyle{ \phi(14) - \tau(14) = 2}\) )).
Otrzymujemy, więc \(\displaystyle{ n = 2^a 3^b 5^c = (a+1)(a+2)(b+1)(b+2)(c+1)(c+2)/8}\). jeśli któraś z liczb \(\displaystyle{ a,b,c > 4}\) to powyższa równość bardzo szybko prowadzi do sprzeczności. Pozostaje skończenie wiele przypadków, po których sprawdzeniu okazuje się, że tylko \(\displaystyle{ n}\) należące do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 3, 18, 36 \right\}}\) spełniają równość z zadania