Wykazać podzielność przez sześć

[burgundka7]

Witam. Od kilkudziesięciu dobrych minut głowię się nad zadaniem, które każe mi udowodnić, że jeśli liczba \(\displaystyle{ n}\) jest większa od 2000, a liczby \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+2}\) są liczbami pierwszymi, to liczba \(\displaystyle{ n+1}\) jest podzielna przez 6. Nie mam nawet pojęcia, jak się do tego zabrać. Bardzo proszę o pomoc.

[xanowron]

Liczba \(\displaystyle{ n}\) jest większa od \(\displaystyle{ 3}\) i jest pierwsza, zatem jest postaci \(\displaystyle{ n=3k+1 \vee n=3k+2}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ n=3k+1}\), to \(\displaystyle{ n+2=3k+1+2=3(k+1)}\), zatem \(\displaystyle{ n+2}\) nie jest liczbą pierwszą.
Jeżeli \(\displaystyle{ n=3k+2}\), to \(\displaystyle{ n+2=3k+2+2=3(k+1)+1}\), zatem \(\displaystyle{ n+2}\) może być liczbą pierwszą.

Więc \(\displaystyle{ n=3k+2}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ n+1=3(k+1)}\) zatem jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).
Dodatkowo jeżeli liczba \(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza i większa od \(\displaystyle{ 2}\) to jest nieparzysta, więc \(\displaystyle{ n+1}\) jest parzyste.

Zatem \(\displaystyle{ n+1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6}\)

[burgundka7]

Serdecznie dziękuję. Mam tylko pytanie, skąd wiadomo, że n dzieli się przez 2?

[xanowron]

\(\displaystyle{ n}\) nie może dzielić się przez \(\displaystyle{ 2}\) bo jest liczbą pierwszą.
Jak liczba nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\) to jest nieparzysta i można ją zapisać jako \(\displaystyle{ a=2k+1}\)
Więc \(\displaystyle{ a+1=2k+2=2(k+1)}\)