czy istnieją pary liczb wymiernych spełniające równanie

[atr.]

a\(\displaystyle{ (1+ \sqrt{3})x + (1+ \sqrt{3})y=-1}\)
jak należy to rozwiązać?

2)całkowitych
\(\displaystyle{ (-1+ \sqrt{3})p + (32+ \sqrt{3})q=3}\)
to rozwiązałam, ale nie wiem czy dobrze. Będę wdzięczna, jeśli ktoś to sprawdzi.
\(\displaystyle{ -p+ \sqrt{3} p +32q+ \sqrt{3}q=3}\)
\(\displaystyle{ -p+32q+ \sqrt{3}(p+q)=3}\)
\(\displaystyle{ -p+q=0,}\)
\(\displaystyle{ -p=-q}\)
\(\displaystyle{ -32p-p-0=3}\)
\(\displaystyle{ -32q-p=3}\)
\(\displaystyle{ -32q+q=3}\)
\(\displaystyle{ 33q=3}\)
\(\displaystyle{ q=11}\)
\(\displaystyle{ p=-11}\)
czyli nie istnieją takie liczby.

3)naturalnych. To podobnie rozwiązałam.
\(\displaystyle{ (11+ \sqrt{3})k +(-7+ \sqrt{3})m=-7}\)
\(\displaystyle{ 11k-7m+ \sqrt{3}(k+m)=-7}\)
\(\displaystyle{ k+m=0, k=-m}\)
\(\displaystyle{ 11k-7m=-7}\)
\(\displaystyle{ 11*-m-7m=-7}\)
\(\displaystyle{ -11m-7m=-7}\)
\(\displaystyle{ -18m=-7}\)
m=\(\displaystyle{ \frac{7}{18}}\)
nie istnieją takie liczby.

[mkb]

\(\displaystyle{ x+y=- \frac{ \sqrt{3}-1 }{2}}\)
Suma liczb wymiernych jest liczbą wymierną, więc pary brak.
Pozostałe:
2: - obliczenia ok, wniosek błędny, właśnie obliczyłaś te liczby,
3) można skrócić, już z warunku k=-m wynika, że nie ma takiej pary liczb naturalnych.

[atr.]

ale w tym pierwszym chodziło o to czy istnieją takie x i y, które są liczbami wymiernymi, więc chyba jakieś muszą być. Tylko właśnie miałam problem z tym jak wyliczyć tego x i y.

[mkb]

Jeżeli suma x+y jest niewymierna (a w tym przypadku jest), to x i y łączne nie mogą być liczbami wymiernymi. Liczby wymierne można sprowadzić do wspólnego mianownika i dodać, więc ich suma jest także wymierna. Odpowiedź na pytanie brzmi "nie istnieją".
Co do obliczeń, można udowadniać także w ten sposób. Musi zniknąć część niewymierna, a więc zachodzi x=-y. W konsekwencji dostaniemy 0=-1, czyli sprzeczność, a więc liczby wymierne spełnające równość nie istnieją.

[Tomasz Tkaczyk]

2: - obliczenia ok, wniosek błędny, właśnie obliczyłaś te liczby,

Niezupełnie.

Koniunkcja dwóch zdań:

\(\displaystyle{ -p + 32q + \sqrt{3}(p + q) = 3}\) i

\(\displaystyle{ p, q}\) należą do zbioru liczb całkowitych

implikuje, że

\(\displaystyle{ p + q = 0}\).

Implikacja w drugą stronę nie zachodzi, więc wynik

\(\displaystyle{ p = -11, q = 11}\) nie musi być poprawny.

Jeśli liczby o zadanej w zadaniu własności istnieją, to będą równe tym liczbom, które zostały wyliczone.

W tym przypadku nie istnieją.

[mkb]

???
Przegapiłem błąd w obliczeniach, powinno być:
Z usunięcia niewymierności:
\(\displaystyle{ p+q=0 \\
p=-q}\)
i dalej przy tym warunku:
\(\displaystyle{ -p+32q+0=3 \\
33q=3 \\
q= \frac{1}{11} \\
p=- \frac{1}{11}}\)
Wniosek: para liczb całkowitych spełniających podany warunek nie istnieje.
Więc powinno być racaej: obliczenia błędne, wniosek poprawny

Natomiast gdyby wynik był 11 i -11 to spełniałby kryteria - to liczby całkowite.