Wykaż, że... liczby pierwsze

raphel · Post autor: **raphel** » 24 paź 2009, o 23:00

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a ^{n} - 1}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ a=2}\).

proszę o pomoc..

Brzytwa · Post autor: **Brzytwa** » 24 paź 2009, o 23:05

\(\displaystyle{ a ^{n} - 1=a^{n}-1^{n}=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^{2}+a+1)}\)

raphel · Post autor: **raphel** » 24 paź 2009, o 23:15

Brzytwa pisze:\(\displaystyle{ a ^{n} - 1=a^{n}-1^{n}=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^{2}+a+1)}\)

dzięki, ale nie do końca widzę że to musi być \(\displaystyle{ a = 2}\)...

Brzytwa · Post autor: **Brzytwa** » 24 paź 2009, o 23:32

raphel pisze:
Brzytwa pisze:\(\displaystyle{ a ^{n} - 1=a^{n}-1^{n}=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^{2}+a+1)}\)
dzięki, ale nie do końca widzę że to musi być \(\displaystyle{ a = 2}\)...

No drugi czynnik jest na pewno liczbą większą niż \(\displaystyle{ 2}\). Jeśli by więc \(\displaystyle{ a>2}\), to mielibyśmy rozkład liczby pierwszej na czynniki większe od \(\displaystyle{ 1}\), co oczywiście nie może mieć miejsca.