Udowodnij, że ... pierwiastkowanie stopnia 3

[rasoir16]

Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{54+30 \sqrt{3} } + \sqrt[3]{54-30 \sqrt{3} } = 6}\)

Byłbym wdzięczny za rozpisanie! Z góry dzięki!

[Arst]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{54+30 \sqrt{3} }=\sqrt[3]{(3+\sqrt{3})^3}}\)
drugi pierwiastek analogicznie tylko minus.

Pozdrawiam

[rasoir16]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{54+30 \sqrt{3} }=\sqrt[3]{(3+\sqrt{3})^3}}\)

To jak rozumiem ze wzoru:

\(\displaystyle{ (a+b)^3}\)

Tylko nadal nie wiem co mam z tym dalej zrobić żeby wyszło że:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(3+\sqrt{3})^3} + \sqrt[3]{(3-\sqrt{3})^3} = 6}\)

Gdybyś mi to mógł rozpisać po kolei to wtedy bym do tego doszedł, to znaczy zrozumiał dlaczego tak a nie inaczej Z góry dzięki!

[kluczyk]

Opuszczasz pierwiastki za pomocą tych potęg.Więc to jest teraz równe:\(\displaystyle{ L=(3+ \sqrt{3})+ (3- \sqrt{3})=6 =P}\)

[rasoir16]

Dzięki wielkie! Teraz już wszystko rozumiem! Jeszcze raz Tobie kluczyk i Arst dzięki!

[Arst]

Dodam tylko, że jeżeli kompletnie nie wiemy jak zwinąć wyrażenie pod pierwiastkiem do odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia można robić to dłuższym sposobem, przyjmując \(\displaystyle{ w=\sqrt[n]{a \pm b\sqrt[m]{c}} \pm \sqrt[n]{a \mp b\sqrt[m]{c}}}\) i obustronnie podnosimy do sześcianu (\(\displaystyle{ n=2}\) lub \(\displaystyle{ n=3}\) (zwykle tak jest). \(\displaystyle{ m \le n}\)). Dalej należy upraszczać i w końcu (po dłuższej lub krótszej robocie) dojdziemy do wielomianu stopnia n-tego którego pierwiastek (jedyny!) jest równy wartości naszego wyrażenia.
Może wydaje się to trochę zawiłe ale warto znać ten sposób bo czasem trudno jest zwinąć wyrażenie podpierwiastkowe do odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia.
\(\displaystyle{ n=2}\) lub \(\displaystyle{ n=3}\) (zwykle tak jest). \(\displaystyle{ m \le n}\)