Ile rozwiązań w liczbach naturalnych ma równanie
\(\displaystyle{ 17^{k}\equiv 1 \mod 15^{k}}\)
rozwiązać kongruencję
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
rozwiązać kongruencję
Najpierw zauważmy, że \(\displaystyle{ k=2l+1}\)
(inaczej przechodzi ten sam trik co tu: 148160.htm)
Zatem \(\displaystyle{ 15^{2l+1}|17^{2l+1}-1}\)
W szczególności \(\displaystyle{ 3|17^{2l+1}-1}\)
Ale \(\displaystyle{ 17^{2l+1}-1\equiv 2^{2l+1}-1\equiv 1 \ (mod3)}\)
Sprzeczność ergo brak rozwiązań.
(inaczej przechodzi ten sam trik co tu: 148160.htm)
Zatem \(\displaystyle{ 15^{2l+1}|17^{2l+1}-1}\)
W szczególności \(\displaystyle{ 3|17^{2l+1}-1}\)
Ale \(\displaystyle{ 17^{2l+1}-1\equiv 2^{2l+1}-1\equiv 1 \ (mod3)}\)
Sprzeczność ergo brak rozwiązań.