2 zadania z podzielnosci.

[Jackuss]

1. Znalesc wszystkie liczby calkowite \(\displaystyle{ x\neq3}\) takie, ze liczba \(\displaystyle{ x-3}\) dzieli liczbe\(\displaystyle{ x^{3}-3}\)

2. Niech beda dane liczby calkowite a, b, c, d, n spelniajace warunki:
liczba n dzieli liczbe ad-bc, liczba n dzieli liczbe a-b, liczby b i n sa wzglednie pierwsze. Pokazac, ze liczba c-d jest podzielna przez n.

[Justka]

1. Istnieje takie k (\(\displaystyle{ k \in C}\)), że \(\displaystyle{ x^3-3=(x-3)k \ \Rightarrow \ k=\frac{x^3-3}{x-3}=\frac{x^3-27+24}{x-3}=\frac{(x-3)(x^2+3x+9)+24}{x-3}}\) więc \(\displaystyle{ k=x^3+3x+9+\frac{24}{x-3}}\)
Wystarczy poszukać dla jakich całkowitych x ułamek \(\displaystyle{ \frac{24}{x-3}}\) jest liczbą całkowitą.

[kammeleon18]

Z treści zadania
\(\displaystyle{ a \equiv b \Rightarrow ad \equiv bd \ mod \ n}\)

\(\displaystyle{ bc \equiv ad \equiv bd \ mod \ n}\)
\(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze, więc
\(\displaystyle{ c\equiv d \ mod \ n}\)