równanie w całkowitych

[kluczyk]

rozwiązać w liczbach całkowitych:
\(\displaystyle{ y^{2}=x^{3}+16}\)

[cienkibolek]

\(\displaystyle{ x=0\\
y=4}\)
i
\(\displaystyle{ x=0\\
y=-4}\)

[Piotr Rutkowski]

W zasadzie łatwo da się zrobić.
Rozważmy 2 przypadki:

1)\(\displaystyle{ y\equiv 1 \ (mod2)}\)
Zauważmy, że wtedy \(\displaystyle{ (y-4,y+4)=1}\) oraz \(\displaystyle{ (y-4)(y+4)=x^{3}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \exists_{a,b\in \mathbb{N}} \ y-4=a^{3} \ y+4=b^{3}}\)
No ale wtedy \(\displaystyle{ (b-a)(a^{2}+ab+b^{2})=b^{3}-a^{3}=8}\) i tutaj da się wyliczyć na palcach.
2)\(\displaystyle{ y=2y_{1}}\)
Tutaj idzie "na palę":
\(\displaystyle{ (4y_{1}^{2}=x^{3}+16)\Rightarrow (x=2x_{1})}\)
\(\displaystyle{ (y_{1})^{2}=2x_{1}^{3}+8)\Rightarrow (y_{1}=2y_{2})}\)
\(\displaystyle{ (2y_{2}^{2}=x_{1}^{3}+4)\Rightarrow (x_{1}=2x_{2})}\)
\(\displaystyle{ (y_{2}^{2}=4x_{2}^{3}+2)\Rightarrow (y_{2}=2y_{3})}\)
\(\displaystyle{ 2y_{3}^{2}=2x_{2}^{3}+1}\) sprzeczność (oczywiście milcząco założyłem tutaj \(\displaystyle{ x\neq 0}\))
Pozdrawiam

[pawelsuz]

147093.htm