Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5 razy
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej
Witam, zastanawiam się nad przeprowadzeniem dowodu do takiego oto zadanka:
Czy pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej może być liczbą wymierną?
Z góry dziękuję za pomoc
Czy pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej może być liczbą wymierną?
Z góry dziękuję za pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej
Wiesz jak wygląda dowód niewymierności np. \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)?
Analogicznie da się zrobić to zadanie.
Analogicznie da się zrobić to zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 2 gru 2005, o 19:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej
właśnie też się zastanawiam nad tym zadaniem i nie jestem pewny czy da się go zrobić analogicznie do dowodu pierwiastka z dwóch, bo dochodzę do takiej postaci:
\(\displaystyle{ q ^{3} x=p ^{3}}\) i w tym momencie trzeba zrobić coś takiego, że \(\displaystyle{ x|p ^{3}}\) i nie wiem co dalej, bo nie można zrobić tak, że \(\displaystyle{ x|p}\) ponieważ x nie jest liczbą pierwszą.
\(\displaystyle{ q ^{3} x=p ^{3}}\) i w tym momencie trzeba zrobić coś takiego, że \(\displaystyle{ x|p ^{3}}\) i nie wiem co dalej, bo nie można zrobić tak, że \(\displaystyle{ x|p}\) ponieważ x nie jest liczbą pierwszą.
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5 razy
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej
Ja to zrobiłem tak:cysiekchmiel pisze:właśnie też się zastanawiam nad tym zadaniem i nie jestem pewny czy da się go zrobić analogicznie do dowodu pierwiastka z dwóch, bo dochodzę do takiej postaci:
\(\displaystyle{ q ^{3} x=p ^{3}}\) i w tym momencie trzeba zrobić coś takiego, że \(\displaystyle{ x|p ^{3}}\) i nie wiem co dalej, bo nie można zrobić tak, że \(\displaystyle{ x|p}\) ponieważ x nie jest liczbą pierwszą.
\(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) - liczba niewymierna.
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{n} } = \frac{p}{q}}\) , gdzie p,q to dowolne liczby całkowite.
Podnosimy równanko do potęgi trzeciej stronami i mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{n} = \frac{p ^{3} }{q ^{3} }}\)
a więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{n} q ^{3} = p ^{3}}\) , co jest sprzeczne z założeniem, że p, q to liczby całkowite.
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 2 gru 2005, o 19:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej
no tak też można, ale wtedy to nie jest analogiczne rozwiązanie do dowodu pierwiastka z dwóch
-
- Użytkownik
- Posty: 70
- Rejestracja: 27 kwie 2009, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5 razy
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej
No jak nie ? Podnosisz stronami do 3 potęgi zamiast do 2 Wszystko to samo Czysta analogia... Ja to się głowię teraz nad zadaniem z mojego drugiego tematu... To jest dopiero mały orzeszek
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 2 gru 2005, o 19:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej
wytłumaczenie sprzeczności jest inne no ale mniejsza o to, ważne że dobrze zrobione dzięki za podpowiedź
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej
Przez analogicznie nie rozumiałem tego, że rozwiązanie jest IDENTYCZNE, miałem na myśli raczej to, że jak zacznie się robić jak dowód niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) to od razu widać rozwiązanie.
Przecież:
\(\displaystyle{ x}\) -nasza liczba niewymierna
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x} = \frac{p}{q}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{p^{3}}{q^{3}}}\)
Po prawej liczba wymierna, a po lewej niewymierna z założenia - po zadaniu.
Przecież:
\(\displaystyle{ x}\) -nasza liczba niewymierna
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x} = \frac{p}{q}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{p^{3}}{q^{3}}}\)
Po prawej liczba wymierna, a po lewej niewymierna z założenia - po zadaniu.