Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
kamil142
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 27 kwie 2009, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej

Post autor: kamil142 »

Witam, zastanawiam się nad przeprowadzeniem dowodu do takiego oto zadanka:

Czy pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej może być liczbą wymierną?


Z góry dziękuję za pomoc
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej

Post autor: xanowron »

Wiesz jak wygląda dowód niewymierności np. \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)?
Analogicznie da się zrobić to zadanie.
kamil142
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 27 kwie 2009, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej

Post autor: kamil142 »

Ok rozumiem
Ostatnio zmieniony 18 paź 2009, o 14:46 przez kamil142, łącznie zmieniany 1 raz.
cysiekchmiel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 2 gru 2005, o 19:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej

Post autor: cysiekchmiel »

właśnie też się zastanawiam nad tym zadaniem i nie jestem pewny czy da się go zrobić analogicznie do dowodu pierwiastka z dwóch, bo dochodzę do takiej postaci:
\(\displaystyle{ q ^{3} x=p ^{3}}\) i w tym momencie trzeba zrobić coś takiego, że \(\displaystyle{ x|p ^{3}}\) i nie wiem co dalej, bo nie można zrobić tak, że \(\displaystyle{ x|p}\) ponieważ x nie jest liczbą pierwszą.
kamil142
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 27 kwie 2009, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej

Post autor: kamil142 »

cysiekchmiel pisze:właśnie też się zastanawiam nad tym zadaniem i nie jestem pewny czy da się go zrobić analogicznie do dowodu pierwiastka z dwóch, bo dochodzę do takiej postaci:
\(\displaystyle{ q ^{3} x=p ^{3}}\) i w tym momencie trzeba zrobić coś takiego, że \(\displaystyle{ x|p ^{3}}\) i nie wiem co dalej, bo nie można zrobić tak, że \(\displaystyle{ x|p}\) ponieważ x nie jest liczbą pierwszą.
Ja to zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{n}}\) - liczba niewymierna.

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{n} } = \frac{p}{q}}\) , gdzie p,q to dowolne liczby całkowite.

Podnosimy równanko do potęgi trzeciej stronami i mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{n} = \frac{p ^{3} }{q ^{3} }}\)
a więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{n} q ^{3} = p ^{3}}\) , co jest sprzeczne z założeniem, że p, q to liczby całkowite.
cysiekchmiel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 2 gru 2005, o 19:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej

Post autor: cysiekchmiel »

no tak też można, ale wtedy to nie jest analogiczne rozwiązanie do dowodu pierwiastka z dwóch
kamil142
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 27 kwie 2009, o 17:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej

Post autor: kamil142 »

No jak nie ? Podnosisz stronami do 3 potęgi zamiast do 2 Wszystko to samo Czysta analogia... Ja to się głowię teraz nad zadaniem z mojego drugiego tematu... To jest dopiero mały orzeszek
cysiekchmiel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 2 gru 2005, o 19:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej

Post autor: cysiekchmiel »

wytłumaczenie sprzeczności jest inne no ale mniejsza o to, ważne że dobrze zrobione dzięki za podpowiedź
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej

Post autor: xanowron »

Przez analogicznie nie rozumiałem tego, że rozwiązanie jest IDENTYCZNE, miałem na myśli raczej to, że jak zacznie się robić jak dowód niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) to od razu widać rozwiązanie.
Przecież:

\(\displaystyle{ x}\) -nasza liczba niewymierna

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x} = \frac{p}{q}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{p^{3}}{q^{3}}}\)

Po prawej liczba wymierna, a po lewej niewymierna z założenia - po zadaniu.
ODPOWIEDZ