Własności liczb całkowitych.

[Michaell65]

Znajdź wszystkie takie pary liczb naturalnych, że ich największy wspólny dzielnik wynosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 210.

jeżeli można prosić to poproszę o wyjaśnienie

[cienkibolek]

zgodnie ze wzorem
\(\displaystyle{ ab=NWD(a,b) \cdot NWW(a,b)}\)
mamy
\(\displaystyle{ ab=6 \cdot 210=1260}\)

po rozkładzie 1260 na czynniki pierwsze dostajemy:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7=1260}\)

możliwe iloczyny:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 630\\
4 \cdot 315\\
6 \cdot 210\\
9 \cdot 140\\
10 \cdot 126\\
12 \cdot 105\\
14 \cdot 90\\
15 \cdot 84\\
21 \cdot 60\\
35 \cdot 36\\}\)

więc rozwiązaniem jest tylko para
\(\displaystyle{ a=6\\
b=210}\)
i na odwrót
\(\displaystyle{ a=210\\
b=6}\)
gdyż tylko dla tych par zachodzi NWD(a,b)=6 i NWW(a,b)=210

[wc-kaczka]

w możliwych iloczynach brakuje jeszcze
\(\displaystyle{ 7\cdot 180}\)
\(\displaystyle{ 18\cdot 70}\)
\(\displaystyle{ 20\cdot 63}\)
\(\displaystyle{ 28\cdot 45}\)
\(\displaystyle{ 30\cdot 42}\)

a w rezultacie jest jeszcze jedna para liczb spełniająca te warunki, czyli 30 i 42;)