Wykaz, ze liczba jest kwadratem.

[jasq]

Jak zrobic takie zadanie :
Niech \(\displaystyle{ l}\) oznacza iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych . Wykaż że \(\displaystyle{ l+1}\) jest kwadratem pewnej liczby naturalnej !

[Tomasz Rużycki]

\(\displaystyle{ l+1 = (n-1)n(n+1)(n+2) +1 = n^4 +2n^3 -n^2 -2n + 1 = (n^2+n-1)^2}\), co konczy dowod.

[jasq]

jak doszedłeś do wzoru \(\displaystyle{ ( n^{2}+n-1)^{2}}\) wiem że jest słuszny ale jakoś nie potrafię skojażyc jak do niego doszedłeś ?

z góry dziekuje za pomoc
pozdrawiam

[Tristan]

Pozwolę sobie rozpisać:
\(\displaystyle{ l+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+n)(n^2+5n+6)+1=n^4+5n^3+6n^2+n^3+5n^2+6n+1= \\ n^4+6n^3+11n^2+6n+1=n^4+3n^3+n^2 +3n^3+9n^2+3n+n^2+3n+1= \\ n^2(n^2 +3n+1) +3n(n^2+3n+1)+(n^2+3n+1)=(n^2+3n+1)(n^2+3n+1)=(n^2+3n+1)^2}\)
I podać jeszcze drugą metodę:
Nasza teza brzmi:\(\displaystyle{ l+1=c^2}\), czyli możemy odjąć jedynkę stronami i otrzymamy \(\displaystyle{ l=c^2-1}\) czyli \(\displaystyle{ l=(c-1)(c+1)}\). Wiemy również, że \(\displaystyle{ l=n(n+1)(n+2)(n+3)=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]=(n^2+3n)(n^2+3n+2)}\). Czyli \(\displaystyle{ (n^2+3n)(n^2+3n+2)=(c-1)(c+1)}\). Zauważmy więc, że po lewej, jak i po prawej stronie mamy iloczyn liczby z liczbą o dwa większą, a to już kończy nasz dowód.

[kotek]

Ja to robię tak:
\(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)(n+2) +1 =[(n-1)(n+2)]\cdot[n(n+1)] +1 =[(n^2+n)-2]\cdot(n^2+n)+1=(n^2+n)^2-2(n^2+n)+1}\) i teraz widać, że można skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.