Funkcja i granica

[mol_ksiazkowy]

Niech dana bedzie funkcja:
\(\displaystyle{ f(n)= \begin{cases} 1, \ dla \ n \in \{ 2,4, 6, 8,....\} \\ 2, dla \ n \in \{1, 3, 5, 7,... \} \end{cases}}\)
oraz niech
\(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n \leq x} f(n)}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \frac{S(x)}{x}}\)

[Qń]

Rozwiązanie:    

Jeśli \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor = 2k-1}\), to:
\(\displaystyle{ S(x)=S(2k-1) = 2k + k-1 = 3k-1 =\frac{3(2k-1)+1}{2}=\frac{3\lfloor x \rfloor+1}{2}}\)

Jeśli natomiast \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor = 2k}\), to:
\(\displaystyle{ S(x)= S(2k) = 2k+k = 3k =\frac{6k}{2}= \frac{3\lfloor x \rfloor}{2}}\)

Dla dowolnego iksa mamy zatem:
\(\displaystyle{ \frac{3\lfloor x \rfloor}{2} \leq S(x) \leq \frac{3\lfloor x \rfloor + 1}{2}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ \frac{3\lfloor x \rfloor}{2x} \leq \frac{S(x)}{x} \leq \frac{3\lfloor x \rfloor + 1}{2x}}\)

Z uwagi na znany fakt, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{ \lfloor x \rfloor}{x} = 1}\) dostajemy, że skrajne funkcje dążą do \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\). To zaś z twierdzenia o trzech ciągach (funkcjach) oznacza, że szukana granica również jest równa tyle.

Q.