podłoga - dowód

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

podłoga - dowód

Post autor: robin5hood »

Pokaż ze dla kazdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) mozemy znależć \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{Z}}\), takie ze
\(\displaystyle{ n = [a\sqrt {2}] + [b\sqrt {3}]}\)
Brzytwa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 879
Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 221 razy

podłoga - dowód

Post autor: Brzytwa »

robin5hood pisze:Pokaż ze dla kazdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) mozemy znależć \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{Z}}\), takie ze
\(\displaystyle{ n = [a\sqrt {2}] + [b\sqrt {3}]}\)

Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ b=\left[ \frac{n}{\sqrt{3}} \right]}\). Wówczas:

\(\displaystyle{ \frac{n}{\sqrt{3}} -1 < \left[ \frac{n}{\sqrt{3}} \right] < \frac{n}{\sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ n-2<n - \sqrt{3}< \left[ \frac{n}{3} \right] \cdot \sqrt{3}< n}\)

\(\displaystyle{ n-2 \le \left[ \left[ \frac{n}{3} \right] \cdot \sqrt{3} \right] \le n-1}\)

Zatem \(\displaystyle{ \left[ \left[ \frac{n}{3} \right] \cdot \sqrt{3} \right]=n-1}\) lub \(\displaystyle{ \left[ \left[ \frac{n}{3} \right] \cdot \sqrt{3} \right]=n-2}\). Wówczas należy wziąć odpowiednio \(\displaystyle{ a=1}\) lub \(\displaystyle{ a=2}\)
ODPOWIEDZ