Pokaż ze dla kazdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) mozemy znależć \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{Z}}\), takie ze
\(\displaystyle{ n = [a\sqrt {2}] + [b\sqrt {3}]}\)
podłoga - dowód
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
podłoga - dowód
robin5hood pisze:Pokaż ze dla kazdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}}\) mozemy znależć \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{Z}}\), takie ze
\(\displaystyle{ n = [a\sqrt {2}] + [b\sqrt {3}]}\)
Wystarczy wziąć \(\displaystyle{ b=\left[ \frac{n}{\sqrt{3}} \right]}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ \frac{n}{\sqrt{3}} -1 < \left[ \frac{n}{\sqrt{3}} \right] < \frac{n}{\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ n-2<n - \sqrt{3}< \left[ \frac{n}{3} \right] \cdot \sqrt{3}< n}\)
\(\displaystyle{ n-2 \le \left[ \left[ \frac{n}{3} \right] \cdot \sqrt{3} \right] \le n-1}\)
Zatem \(\displaystyle{ \left[ \left[ \frac{n}{3} \right] \cdot \sqrt{3} \right]=n-1}\) lub \(\displaystyle{ \left[ \left[ \frac{n}{3} \right] \cdot \sqrt{3} \right]=n-2}\). Wówczas należy wziąć odpowiednio \(\displaystyle{ a=1}\) lub \(\displaystyle{ a=2}\)