Czy ktoś mógłby mi pomóc wyliczyć sumy?
a)\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 2^{k}}\)
c)\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^{k}}\)
Dwumian Newtona
-
Brzytwa
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Dwumian Newtona
a)\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 1^{n-k} \cdot 1^{k}=(1+1)^{n}=2^{n}}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 2^{k} =\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 1^{n-k} \cdot 2^{k} =(1+2)^{n}=3^{n}}\)
c)\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot (-1)^{k} =\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 1^{n-k} \cdot (-1)^{k}= (1-1)^{n}=0}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 2^{k} =\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 1^{n-k} \cdot 2^{k} =(1+2)^{n}=3^{n}}\)
c)\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot (-1)^{k} =\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 1^{n-k} \cdot (-1)^{k}= (1-1)^{n}=0}\)