Szukane liczby

[mol_ksiazkowy]

a) Wyznacz najmniejsza liczbe naturalna \(\displaystyle{ n}\),(o ile istnieje), taka ze liczby \(\displaystyle{ \sqrt[7]{\frac{n}{7}}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt[11]{\frac{n}{11}}}\)
sa całkowite
b) Wyznacz najmniejsz liczbe naturalna \(\displaystyle{ n}\),(o ile istnieje), taka ze liczby \(\displaystyle{ \sqrt[7]{\frac{n}{7}}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt[11]{\frac{n}{11}}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt[13]{\frac{n}{13}}}\)
sa całkowite

[Vax]

a) Oczywiście takie najmniejsze ,,n" musi być postaci \(\displaystyle{ n = 7^{x}\cdot 11^{y}}\) dla pewnych całkowitych dodatnich x,y, ma zachodzić:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-1\equiv 0\pmod{7}\\ y\equiv 0\pmod{7} \\ x \equiv 0\pmod{11} \\ y-1 \equiv 0\pmod{11} \end{cases}}\)

Czyli równoważnie mają zachodzić:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 0\pmod{11}\\ x \equiv 1\pmod{7} \end{cases} \wedge \begin{cases} y \equiv 0\pmod{7} \\ y \equiv 1\pmod{11}\end{cases}}\)

A stąd już łatwo wyznaczyć, że najmniejszymi takimi całkowitymi dodatnimi liczbami x,y są \(\displaystyle{ (x,y) = (22 , 56)}\), czyli najmniejszym takim n jest \(\displaystyle{ n = 7^{22} \cdot 11^{56}}\)

b) Tutaj zupełnie analogicznie dostajemy \(\displaystyle{ n=7^{715}\cdot 11^{364}\cdot 13^{924}}\)