Witam, mam kilka takich zadanek, które mnie oraz moim znajomym sprawiają lekki kłopot i nie potrafimy ich rozwiązać. Prosiłbym o jakąkolwiek pomoc.
Oto zadanka:
1. Określ dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 2 ^{999}}\)
2. Udowodnij, że jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 3 to \(\displaystyle{ p ^{2} - 1}\) dzieli się przez 24.
3. Udowodnij, że jeżeli p jest iloczynem pierwszych \(\displaystyle{ n}\) liczb pierwszych, to ani \(\displaystyle{ p-1}\) ani \(\displaystyle{ p + 1}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej.
4. Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ 10 ^{9} + 1}\) jest podzielna przez 19.
5. Udowodnij, że suma trzech liczb całkowitych nie moze dać przy dzieleniu przez 8 reszty 7.
6. Czy suma cyfr liczby, która jest kwadratem liczby naturalnej może być równa \(\displaystyle{ 23145342}\) ?
7. Liczby \(\displaystyle{ p i 2p + 1}\) są liczbami pierwszymi. Udowodnij, że liczba 4p + 1 jest złożona.
8. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 20052005200598764}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej.
9. Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 99 ^{99} - 51 ^{51}}\)
Z góry dziekuję za okazaną pomoc.
Dowody + Kongruencje.
-
pipol
Dowody + Kongruencje.
\(\displaystyle{ 2^5 \equiv 2 (\mbox{mod} 10)}\)
\(\displaystyle{ 2^{25} \equiv 2 (\mbox{mod} 10)}\)
\(\displaystyle{ 2^{125} \equiv 2 (\mbox{mod} 10)}\)
\(\displaystyle{ 2^{625} \equiv 2 (\mbox{mod} 10)}\)
\(\displaystyle{ 2^{999 } \equiv 2^{625} \cdot 2^{125} \cdot 2^{125} \cdot 2^{25} \cdot 2^{25} \cdot 2^{25} \cdot 2^{25} \cdot 2^5 \cdot 2^5 \cdot 2^5 \cdot 2^5 \cdot 2^4 \equiv 2^{11} \cdot 2^4\equiv 2^3 \equiv 8 (\mbox{mod} 10)}\)-- 13 paź 2009, o 20:43 --2) Każda taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) jest postaci \(\displaystyle{ p=6k+1 \vee p=6k+5}\) stąd \(\displaystyle{ p^2-1 =36k^2 +12k =12k(3k+1) \vee p^2-1 =36k^2 +60k +24=12k(3k+1) +48k+24}\) wystarczy więc udowodnić, że \(\displaystyle{ k(3k+1)}\) jest parzyste. A to jest prawda bo dla \(\displaystyle{ k=2l+1}\) mamy \(\displaystyle{ k(3k+1)=2(2l+1)(3l+2)}\) a dla \(\displaystyle{ k=2l}\) mamy \(\displaystyle{ k(3k+1)= 2l(6l+1)}\) .
\(\displaystyle{ 2^{25} \equiv 2 (\mbox{mod} 10)}\)
\(\displaystyle{ 2^{125} \equiv 2 (\mbox{mod} 10)}\)
\(\displaystyle{ 2^{625} \equiv 2 (\mbox{mod} 10)}\)
\(\displaystyle{ 2^{999 } \equiv 2^{625} \cdot 2^{125} \cdot 2^{125} \cdot 2^{25} \cdot 2^{25} \cdot 2^{25} \cdot 2^{25} \cdot 2^5 \cdot 2^5 \cdot 2^5 \cdot 2^5 \cdot 2^4 \equiv 2^{11} \cdot 2^4\equiv 2^3 \equiv 8 (\mbox{mod} 10)}\)-- 13 paź 2009, o 20:43 --2) Każda taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) jest postaci \(\displaystyle{ p=6k+1 \vee p=6k+5}\) stąd \(\displaystyle{ p^2-1 =36k^2 +12k =12k(3k+1) \vee p^2-1 =36k^2 +60k +24=12k(3k+1) +48k+24}\) wystarczy więc udowodnić, że \(\displaystyle{ k(3k+1)}\) jest parzyste. A to jest prawda bo dla \(\displaystyle{ k=2l+1}\) mamy \(\displaystyle{ k(3k+1)=2(2l+1)(3l+2)}\) a dla \(\displaystyle{ k=2l}\) mamy \(\displaystyle{ k(3k+1)= 2l(6l+1)}\) .
-
Mruczek
- Użytkownik
- Posty: 1114
- Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 157 razy
Dowody + Kongruencje.
6.
Nie możliwe.
Liczba 3 dzieli 23145342, ale liczba 9 nie.
Ponieważ 3 dzieli 23145342, sumę cyfr kwadratu liczby naturalnej to ten kwadrat jest podzielny przez 3, a więc także ta liczba z której on powstał jest podzielna przez 3, czyli ten kwadrat liczby naturalnej musiałby być podzielny przez 9, a ponieważ jego suma cyfr nie jest podzielna przez 9 to nie jest on podzielny przez 9, czyli taki kwadrat nie istnieje.
Nie możliwe.
Liczba 3 dzieli 23145342, ale liczba 9 nie.
Ponieważ 3 dzieli 23145342, sumę cyfr kwadratu liczby naturalnej to ten kwadrat jest podzielny przez 3, a więc także ta liczba z której on powstał jest podzielna przez 3, czyli ten kwadrat liczby naturalnej musiałby być podzielny przez 9, a ponieważ jego suma cyfr nie jest podzielna przez 9 to nie jest on podzielny przez 9, czyli taki kwadrat nie istnieje.