liczby względnie pierwsze

[wiosna]

Udowodnij ,ze jeśli \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},....,a_{n}}\) są liczbami względnie pierwszymi to istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ k_{1},k_{2},....,k_{n}}\) takie że \(\displaystyle{ k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+....+a_{n}k_{n}=1}\)

[xiikzodz]

To jest nieprawda. Na przykład \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\) są względnie pierwsze, lecz nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) takie, że \(\displaystyle{ 2k+3l=1}\).

Rozumiem, że chodzi o to, że jeśli \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)=1}\), to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ k_1,...,k_n}\) takie, że \(\displaystyle{ \sum k_ia_i=1}\).

To można przez indukcję wykazać zauważywszy, że \(\displaystyle{ (a,b,c)=((a,b),c)}\).

(Nawiasy oznaczają tu największy wspólny dzielnik, czyli np. \(\displaystyle{ (a,b,c):=\mbox{NWD}(a,b,c)}\))