1) Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ 3x^{2}+13y^{2}=z^{2}}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych.
2) Udowodnij, że jeśli liczby dodatnie spełniają warunek \(\displaystyle{ a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}=1}\) to:
\(\displaystyle{ (1+a_{1})(1+a_{2})...(1+a_{n}) \ge 2^{n}}\)
Czekam na podpowiedzi, z góry dziękuje.
Poprawione, dorzucam jeszcze jedno:
3) Na ile maksymalnie części można podzielić płaszczyzne rysując n prostych?
Równanie i nierówność - dowody
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Równanie i nierówność - dowody
1. aby na pewno dobrze podałeś treść? bo to równanie jest równoważne następującemu: \(\displaystyle{ 13y^2=-2x^2}\)...
2. znów: czy treść jest poprawna? bo w tej wersji to nieprawda. mozna natomiast tak: \(\displaystyle{ 1+a_i\ge 2\sqrt{a_i}}\). mnożąc n takich nierówności stronami mamy \(\displaystyle{ (1+a_1)(1+a_2)\ldots (1+a_n)\ge 2^n\sqrt{a_1\cdot a_2\cdot \ldots\cdot a_n}=2^n}\)
2. znów: czy treść jest poprawna? bo w tej wersji to nieprawda. mozna natomiast tak: \(\displaystyle{ 1+a_i\ge 2\sqrt{a_i}}\). mnożąc n takich nierówności stronami mamy \(\displaystyle{ (1+a_1)(1+a_2)\ldots (1+a_n)\ge 2^n\sqrt{a_1\cdot a_2\cdot \ldots\cdot a_n}=2^n}\)