Równanie i nierówność - dowody

[Citizen]

1) Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ 3x^{2}+13y^{2}=z^{2}}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych.

2) Udowodnij, że jeśli liczby dodatnie spełniają warunek \(\displaystyle{ a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}=1}\) to:
\(\displaystyle{ (1+a_{1})(1+a_{2})...(1+a_{n}) \ge 2^{n}}\)

Czekam na podpowiedzi, z góry dziękuje.

Poprawione, dorzucam jeszcze jedno:

3) Na ile maksymalnie części można podzielić płaszczyzne rysując n prostych?

[kluczyk]

1)Popraw.
2) Nie powinno być \(\displaystyle{ 2^{n}}\)? Wsk. \(\displaystyle{ 1+a_{i} \ge 2 \sqrt{a_{i}}}\)

[klaustrofob]

1. aby na pewno dobrze podałeś treść? bo to równanie jest równoważne następującemu: \(\displaystyle{ 13y^2=-2x^2}\)...
2. znów: czy treść jest poprawna? bo w tej wersji to nieprawda. mozna natomiast tak: \(\displaystyle{ 1+a_i\ge 2\sqrt{a_i}}\). mnożąc n takich nierówności stronami mamy \(\displaystyle{ (1+a_1)(1+a_2)\ldots (1+a_n)\ge 2^n\sqrt{a_1\cdot a_2\cdot \ldots\cdot a_n}=2^n}\)