Witam, mam pewien problem:) W podobnych zadaniach tego typu (dla pierwiastków kwadratowych) udowodnienie równości nie stanowi zwykle problemu, ponieważ zwykle wartość pod pierwiastkem można zapisać wzorem skróconego mnożenia, ale tutaj utknąłem:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1}\)
Udowodnij równanie
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Udowodnij równanie
\(\displaystyle{ 2+\sqrt{5} = \frac{1}{8}\left(16+8\sqrt{5}\right) = \frac{1}{8}(1+\sqrt{5})^3}\), teraz widac?
-
siNister
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 16 kwie 2006, o 17:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/Gliwice
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 16 razy
Udowodnij równanie
wydaje mi sie ze dalo by sie rowniez zrobic pewnie w bardziej skomplikowany sposob niz wyjasniony powyzej, a mianowicie obliczyc wartosc wyrazenia po lewej stronie podnoszac do szescianu wszystko by sie ladnie poupraszczalo i pewnie mozna by bylo zastosowac jakis wspolczynnik t, przynajmniej tak bylo w podobnym zadaniu, ktore rozwiazywalem
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Udowodnij równanie
Ostatnio przeczytałem o jeszcze innym sposobie rozwiązywania tego typu zadań. W tym przypadku mamy:
Niech \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}}, b=\sqrt[3]{2- \sqrt{5}}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ ab=\sqrt[3]{ (2+ \sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=\sqrt[3]{-1}=-1}\) i \(\displaystyle{ a^3+b^3=(2+ \sqrt{5})+(2- \sqrt{5})=4}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2 -3ab)}\), więc otrzymujemy stąd równość:
\(\displaystyle{ (a+b)((a+b)^2 +3)=1 (1^2 +3)}\)
Wobec tego, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x(x^2+3)}\) jest funkcją rosnącą, a więc różnowartościową, wnioskujemy stąd, że rzeczywiście \(\displaystyle{ a+b=1}\).
Niech \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}}, b=\sqrt[3]{2- \sqrt{5}}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ ab=\sqrt[3]{ (2+ \sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=\sqrt[3]{-1}=-1}\) i \(\displaystyle{ a^3+b^3=(2+ \sqrt{5})+(2- \sqrt{5})=4}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2 -3ab)}\), więc otrzymujemy stąd równość:
\(\displaystyle{ (a+b)((a+b)^2 +3)=1 (1^2 +3)}\)
Wobec tego, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x(x^2+3)}\) jest funkcją rosnącą, a więc różnowartościową, wnioskujemy stąd, że rzeczywiście \(\displaystyle{ a+b=1}\).
