Kolejny dowód niewymierności

[Miroslav]

Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{3} + \sqrt{2}}\) jest niewymierna.
Założyłem, że liczba jest wymierna, robie jakies przekształcenia, ale do niczego sensownego nie moge dojść.. Jak to ugryźć?

[Kamil_B]

Pokaż jak robisz te przekształcenia, że nic sensownego Ci nie wychodzi.

[Miroslav]

zapisalem, ze \(\displaystyle{ \sqrt{3} + \sqrt{2} = \frac{p}{q}}\) - p,q naturalne i wzglednie pierwsze.
No i chcialem to przeksztalcic tak, zeby pozbyc sie pierwiastkow.
Wyszlo \(\displaystyle{ p^4-6p^2q^2-15q^4=0}\)
mozna z tego cos sensownego wywnioskowac?

[Dasio11]

Po prostu podnieś do kwadratu + dowód niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)

[Kamil_B]

Z tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{3} + \sqrt{2} = \frac{p}{q}}\) po obustronnym podniesieniu do kwadratu mamy: \(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2}-5=2\sqrt{6}}\)
Teraz popatrz na tą równości zastanów się jakie liczby znajdują się po jej lewej oraz prawej stronie

[Miroslav]

No fakt, po kiego grzyba ja podnosilem 2 razy do kwadratu .. a zeby dowod byl poprawny, to musze w tym zrobic jeszcze dowod niewymiernosci pierwiastka z 6 ?

[Kamil_B]

Tak, wtedy dowód będzie kompletny.

[Miroslav]

a mam jeszcze takie pytanie :
Jeśli liczby p i q są względnie pierwsze i jeśli mam równość \(\displaystyle{ 2q^4=p^4}\) , to znaczy, że \(\displaystyle{ 2}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ p^4}\). Czy to jest równoznaczne z tym, że \(\displaystyle{ 2}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ p}\) ? A jeśli tak, to dlaczego?

[Dasio11]

Bo gdyby \(\displaystyle{ p}\) nie dzieliło \(\displaystyle{ 2}\), to \(\displaystyle{ p^4}\) też nie.