Udowodnij, że nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat wynosi 12.
heeelp, nie wiem jak się za to zabrać nawet...
Udowodnij nieistnienie kwadratu
-
nereida
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 10 paź 2009, o 15:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: bydgoszcz
- Podziękował: 3 razy
Udowodnij nieistnienie kwadratu
Ostatnio zmieniony 10 paź 2009, o 15:25 przez Sylwek, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
-
Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Udowodnij nieistnienie kwadratu
Wklepujesz w google lub w wyszukiwarke na tym forum informacji o dowodzie na to że pierwiastek z 2 jest liczbą niewymierną. Robisz DOKŁADNIE tak samo.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnij nieistnienie kwadratu
Załóżmy przeciwnie, że istnieje, to znaczy istnieją takie względnie pierwsze liczby całkowite \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) (\(\displaystyle{ q \neq 0}\)), że:
\(\displaystyle{ \left( \frac{p}{q} \right)^2 =12}\)
czyli:
\(\displaystyle{ p^2=12q^2}\)
Prawa strona jest podzielna przez trzy, więc lewa też musi być podzielna przez trzy, więc \(\displaystyle{ p}\) musi być podzielne przez trzy, więc \(\displaystyle{ p=3k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego. Wstawmy to do naszej równości:
\(\displaystyle{ (3k)^2= 12q^2\\
9k^2=12q^2 \\
3k^2 = 4q^2}\)
Lewa strona jest podzielna przez trzy, więc prawa też musi, więc \(\displaystyle{ q}\) musi być podzielne przez trzy. Ale zaraz - jeśli \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są podzielne przez trzy, to nie są względnie pierwsze, a miały być. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że założenie o istnieniu takiej liczby było fałszywe, zatem taka liczba nie istnieje.
Q.
\(\displaystyle{ \left( \frac{p}{q} \right)^2 =12}\)
czyli:
\(\displaystyle{ p^2=12q^2}\)
Prawa strona jest podzielna przez trzy, więc lewa też musi być podzielna przez trzy, więc \(\displaystyle{ p}\) musi być podzielne przez trzy, więc \(\displaystyle{ p=3k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego. Wstawmy to do naszej równości:
\(\displaystyle{ (3k)^2= 12q^2\\
9k^2=12q^2 \\
3k^2 = 4q^2}\)
Lewa strona jest podzielna przez trzy, więc prawa też musi, więc \(\displaystyle{ q}\) musi być podzielne przez trzy. Ale zaraz - jeśli \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są podzielne przez trzy, to nie są względnie pierwsze, a miały być. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że założenie o istnieniu takiej liczby było fałszywe, zatem taka liczba nie istnieje.
Q.
