dowód niewymierności

[Miroslav]

Niech \(\displaystyle{ p, q}\) będą dwiema różnymi liczbami pierwszymi. Pokazać, że liczby \(\displaystyle{ \sqrt{p*q}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{p} - \sqrt{q}}\) są niewymierne.

[Nakahed90]

Przeprowadź dowody nie wprost.

[Miroslav]

tyle wiem... zakladam, ze \(\displaystyle{ \sqrt{p*q}}\) jest liczbą wymierną.. zapisuje w postaci ulamka \(\displaystyle{ \frac{m}{n}}\) , podnosze stronami do kwadratu.. i nie wiem co dalej... tzn tam chyba cos jest z rozkladem na czynniki pierwsze...ale nie rozumiem tego totalnie. Moze mi ktos wyjasnic o co chodzi ?

[kammeleon18]

1.\(\displaystyle{ \sqrt{pq} \in Q \Leftrightarrow pq=k^2}\) dla pewnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\).
Jako że są pierwsze i rózne to takie \(\displaystyle{ k}\) nie istnieje.
2. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{p}- \sqrt{q} \in Q}\) wtedy
\(\displaystyle{ \sqrt{p}+ \sqrt{q}= \frac{p-q}{\sqrt{p}- \sqrt{q}} \in Q}\).
Łatwo udowodnić, że dla dowolnych a i b
\(\displaystyle{ a,b \in Q \Leftrightarrow a+b \in Q \wedge a-b \in Q}\)