Dowód (NWD)

[wbb]

Wykaż, że \(\displaystyle{ d=NWD(a,b) \Rightarrow NWD( \frac{a}{d}, \frac{b}{d})=1}\).

[silicium2002]

Wykaż, że \(\displaystyle{ d=NWD(a,b) \Rightarrow NWD( \frac{a}{d}, \frac{b}{d})=1}\).

hmm \(\displaystyle{ d=NWD(a,b) \Rightarrow a = kd \wedge b = td (gdzie \ k \ i \ t \ sa \ wzglednie pierwsze) (*) \Rightarrow NWD( \frac{a}{d}, \frac{b}{d}) = NWD( \frac{kd}{d}, \frac{td}{d}) = NWD( k, d)}\)

\(\displaystyle{ (*) \Rightarrow NWD( k, d) = 1 \Rightarrow NWD( \frac{a}{d}, \frac{b}{d})=1}\)

\(\displaystyle{ c.b.d.o}\)

[Zordon]

załóż nie wprost, że \(\displaystyle{ \frac{a}{d}}\) i \(\displaystyle{ \frac{b}{d}}\) mają pewien wspólny dzielnik większy od jedynki...

[wbb]

Wykaż, że \(\displaystyle{ d=NWD(a,b) \Rightarrow NWD( \frac{a}{d}, \frac{b}{d})=1}\).

hmm \(\displaystyle{ d=NWD(a,b) \Rightarrow a = kd \wedge b = td (gdzie \ k \ i \ t \ sa \ wzglednie pierwsze) (*) \Rightarrow NWD( \frac{a}{d}, \frac{b}{d}) = NWD( \frac{kd}{d}, \frac{td}{d}) = NWD( k, d)}\)

\(\displaystyle{ (*) \Rightarrow NWD( k, d) = 1 \Rightarrow NWD( \frac{a}{d}, \frac{b}{d})=1}\)

\(\displaystyle{ c.b.d.o}\)

Skąd to założenie, że \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ t}\) mają być względnie pierwsze?

[silicium2002]

Bo jeżeli k i t miałyby wspólny dzielnik powiedzmy m to wtedy NWD (a,b) = d * m a wiemy że równa się to d więc m jest równe jeden i k i t są względnie pierwsze