Obliczyć wartość wyrażenia; suma cyfr

Tristan · Post autor: **Tristan** » 22 kwie 2006, o 14:41

Przez \(\displaystyle{ Q(n)}\) oznaczmy sumę wszystkich cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\), czyli np. \(\displaystyle{ Q(1324)=1+3+2+4=10}\). Oblicz \(\displaystyle{ Q(Q(Q(2005^{2005})))}\).
Zadanie pochodzi z jakiegoś konkursu szkolego z Katowic, oczywiście dawno już zakończonego . Podobno nikt tam tego zadania nie rozwiązał

juzef · Post autor: **juzef** » 22 kwie 2006, o 15:14

Jak dla mnie 7. Zawsze można napisać program, który to policzy.

arigo · Post autor: **arigo** » 22 kwie 2006, o 17:10

jak dla mnie 7. robilem na kompie

znalazlem "literowke" w programie:/
teraz powinno byc ok

g · Post autor: g » 22 kwie 2006, o 18:44

na oko to jak juzef. jakies szacowania daja jednocyfrowosc tej liczby, a argument przystaje do tego samego co wynik modulo 9. wychodzi 7 chyba, ale glowy nie dam bo w pamieci robilem.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 22 kwie 2006, o 19:07

A czy mógłby ktoś podać dokładny sposób (ale czysto matematyczny, nie korzystający z żadnych programów) w jaki można to oszacować?

g · Post autor: g » 23 kwie 2006, o 17:25

\(\displaystyle{ Q(n) < 9 \lceil \log n \rceil}\). wystarczy zaaplikowac.

juzef · Post autor: **juzef** » 23 kwie 2006, o 17:40

1. \(\displaystyle{ Q(Q(Q(2005^{2005})))\leq 9}\)
2. \(\displaystyle{ Q(Q(Q(2005^{2005}))) \equiv 2005^{2005}\pmod 9}\)
3. \(\displaystyle{ 2005^{2005}\equiv 2005 {(2005^6)}^{334} \equiv 2005 \equiv 7 od 9}\)