Uzasadnij, że liczba 250 nie można przedstawić w postaci...

[Labson]

Uzasadnij, że liczby 250 nie można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb całkowitych.

[xanowron]

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}=250}\)
\(\displaystyle{ (a+b)(a-b)=250}\)
\(\displaystyle{ ...}\)

[Qń]

Ogólniej - żadnej liczby postaci \(\displaystyle{ 4n+2}\) nie można przedstawić w postaci różnicy kwadratów liczb całkowitych. Gdyby bowiem było:
\(\displaystyle{ x^2-y^2= 4n+2}\)
czyli
\(\displaystyle{ (x-y)(x+y) = 4n+2}\)
to zauważmy, że lewej strony mamy dwa czynniki tej samej parzystości. Jeśli oba są nieparzyste, to lewa strona jest nieparzysta, a prawa parzysta - sprzeczność. Jeśli oba są parzyste to lewa strona jest podzielna przez cztery, a lewa nie - sprzeczność. Kończy to dowód.

Q.

[Labson]

a skąd się wzięło \(\displaystyle{ 4n+2}\) ?

[Qń]

Liczba \(\displaystyle{ 250}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 4}\), zatem jest postaci \(\displaystyle{ 4n+2}\).

Q.

[Labson]

ale dlaczego przez \(\displaystyle{ 4}\) a nie np. przez \(\displaystyle{ 5}\)?

[Zordon]

Bo rozważanie podzielności przez 4 prowadzi do celu a przez 5 niekoniecznie.