Element zerowy zbioru R.

[_Mithrandir]

Mam aksjomaty dodawania w R (czy coś takiego):

1. \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x,y \in R} x+y=y+x}\)

2. \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x,y,z \in R} (x+y)+z=x+(y+z)}\)

3. \(\displaystyle{ \bigvee\limits_{ \partial \in R}\bigwedge\limits_{x \in R} x + \partial =x}\)

Aksjomat 3. zapewnia istnienie co najmniej jednego elementu zerowego. Aksjomat 1. pozwala zaś pokazać, że istnieje dokładnie jeden taki element: 0.

Może mi ktoś to "pokazać" pokazać?

[Zordon]

załóżmy że są dwa zera, \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wtedy:
\(\displaystyle{ a=a+b=b+a=b}\)
korzystamy kolejno z aksjomatu 3, 1, 3, i mamy ze te zera sa równe. Więc jest tylko jedno.

[_Mithrandir]

A jak udowodnić, że w zbiorze R istnieje tylko jeden element przeciwny do x?

[Wasilewski]

Oznaczmy elementy przeciwne do x przez \(\displaystyle{ y_{1} \ oraz \ y_{2}}\). Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ y_{2} = (y_{1} +x) + y_{2} = y_{1} + (x+y_{2}) = y_{1}}\)
Czyli nie może być dwóch różnych elementów przeciwnych.

[_Mithrandir]

Dzięki Wam za pomoc