Udowodnić, że jedynie zera spełniają równanie

[Khamell]

Mam nadzieję, że w dobrym miejscu umieszczam to zadanko:

Udowodnić, że jedynymi liczbami całkowitymi x, y, z spełniającymi równanie \(\displaystyle{ 3x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 2x(y+z)}\) są liczby x=0, y=0, z=0.

Proszę o wskazówkę, jak się za to zabrać. Ewentualnie rozwiązanie z jakimś opisem, co, dlaczego. Z góry dziękuję.

[xanowron]

Wymnóż prawą stronę, przerzuć na lewo, rozbij \(\displaystyle{ 3x^{2}}\) na \(\displaystyle{ x^{2}+x^{2}+x^{2}}\) i zwiń we wzory skróconego mnożenia.

[kaszubki]

\(\displaystyle{ 3x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 2x(y+z) \Leftrightarrow x^2 + x^2 - 2xy + y^2 + x^2 - 2xz + z^2 = 0 \Rightarrow x^2 + (x-y)^2 + (x-z)^2 = 0}\), a skoro kwadraty są nieujemne, to wszystkie muszą być równe 0, czyli x=0, y=x=0, z=x=0.