Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Roaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stąd
Podziękował: 25 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Roaster »

Witam,
mam przeprowadzić dowód niewprost na niewymierność pierwiastka z trzech. No i jestem mocno zacięty, bo nie mam w ogóle pojęcia jak to ruszyć. Czytałem dowód na niewymierność pierwiastka z dwóch, ale kompletnie nie rozumiem, o co chodzi z jakimś występowaniem jakiejśtam ilości dwójek po jednej stronie, a innej po drugiej.. Bardzo proszę o pomoc i wytłumaczenie.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Zordon »

Czego dokładnie nie rozumiesz? Bo dowód niewymierności pierwiastka z dwóch jest raczej elementarny...
Roaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stąd
Podziękował: 25 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Roaster »

Hmm.. Napiszę, jak IMO ten dowód na niewymierność pierwiastka z 3 powinien wyglądać, naprowadźcie mnie proszę, jeśli się mylę.

Zakładamy, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest wymierny. Mamy więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{3} = \frac{m}{n} \\
3 = \frac{m ^{2} }{n ^{2} } \\
3n^{2} = m^{2}}\)

Co oznacza, że liczba \(\displaystyle{ m^{2}}\) jest podzielna przez 3. Możemy więc zapisać to jako:
\(\displaystyle{ m^{2} = (3k)^{2} \\
3n^{2} = 9k^{2} \\
n^{2} = 3k^{2}}\)

Z czego wynika, że n jest również podzielne przez 3. Tym samym m i n są podzielne przez trzy, a przez to nie są względnie pierwsze, więc pierwiastek z trzech nie jest liczbą wymierną.
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Nakahed90 »

Brakuje pewnych założeń co do m,n.
Roaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stąd
Podziękował: 25 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Roaster »

Hmm.. Zakładam, że m i n należą do zbioru liczb całkowitych oraz, że m i n są względnie pierwsze. Jest OK?
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Nakahed90 »

A czy n może być zerem? Lepiej jest chyba dać założenie \(\displaystyle{ m,n \in N_{+}}\)
Roaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stąd
Podziękował: 25 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Roaster »

A czy \(\displaystyle{ m,n \in C \wedge m,n \neq 0}\) też może być?
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Nakahed90 »

Też może być.
Roaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stąd
Podziękował: 25 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Roaster »

Czyli to co napisałem wcześniej + te dwa założenia i dowód jest OK, tak?
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Nakahed90 »

Tak.
Roaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stąd
Podziękował: 25 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Roaster »

Dziękuję bardzo za pomoc
Awatar użytkownika
Maciej87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 377
Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: Maciej87 »

To samo, tylko trochę inaczej spojrzawszy: można używać faktu o pierwiastkach wielomianu (w który chyba w liceum się wierzy, ja to jeszcze miałem)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^2-3}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_0}\) ma pierwiastek wymierny, to licznik dzieli \(\displaystyle{ a_0}\) zaś mianownik dzieli \(\displaystyle{ a_n}\)

-- 4 paź 2009, o 15:53 --
Roaster pisze: 3n^{2} = m^{2}[/latex]
Co oznacza, że liczba \(\displaystyle{ m^{2}}\) jest podzielna przez 3. Możemy więc zapisać to jako:
\(\displaystyle{ m^{2} = (3k)^{2}}\) \
Nie czepiałbym się, ale widzę że chodzi o porządne rozpisywanie toku rozumowania. To nie jest poprawne przejście. Piszesz bowiem że \(\displaystyle{ 3|m^2}\) a zaraz później \(\displaystyle{ m=3k}\) czyli \(\displaystyle{ 3|m}\). Owszem, tak jest ale tylko dlatego że \(\displaystyle{ 3}\) jest liczbą pierwszą.
Dla przykładu \(\displaystyle{ 4^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\) ale \(\displaystyle{ 4^2 \not = (8k)^2}\).
Również z punktu widzenia potencjalnej dalszej nauki warto zwrócić uwagę na tą własność liczb pierwszych.
toms1792
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 28 sty 2010, o 19:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech

Post autor: toms1792 »

mam zadanie takei aby udowodnić ze pierwiastek z 13 jest liczbą niewymierną. morzna to zrobić za pomocąciągów??? Prosze o pomoc i dowód. Z góry dzięki
ODPOWIEDZ