Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stąd
- Podziękował: 25 razy
Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech
Witam,
mam przeprowadzić dowód niewprost na niewymierność pierwiastka z trzech. No i jestem mocno zacięty, bo nie mam w ogóle pojęcia jak to ruszyć. Czytałem dowód na niewymierność pierwiastka z dwóch, ale kompletnie nie rozumiem, o co chodzi z jakimś występowaniem jakiejśtam ilości dwójek po jednej stronie, a innej po drugiej.. Bardzo proszę o pomoc i wytłumaczenie.
mam przeprowadzić dowód niewprost na niewymierność pierwiastka z trzech. No i jestem mocno zacięty, bo nie mam w ogóle pojęcia jak to ruszyć. Czytałem dowód na niewymierność pierwiastka z dwóch, ale kompletnie nie rozumiem, o co chodzi z jakimś występowaniem jakiejśtam ilości dwójek po jednej stronie, a innej po drugiej.. Bardzo proszę o pomoc i wytłumaczenie.
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stąd
- Podziękował: 25 razy
Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech
Hmm.. Napiszę, jak IMO ten dowód na niewymierność pierwiastka z 3 powinien wyglądać, naprowadźcie mnie proszę, jeśli się mylę.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest wymierny. Mamy więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{3} = \frac{m}{n} \\
3 = \frac{m ^{2} }{n ^{2} } \\
3n^{2} = m^{2}}\)
Co oznacza, że liczba \(\displaystyle{ m^{2}}\) jest podzielna przez 3. Możemy więc zapisać to jako:
\(\displaystyle{ m^{2} = (3k)^{2} \\
3n^{2} = 9k^{2} \\
n^{2} = 3k^{2}}\)
Z czego wynika, że n jest również podzielne przez 3. Tym samym m i n są podzielne przez trzy, a przez to nie są względnie pierwsze, więc pierwiastek z trzech nie jest liczbą wymierną.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest wymierny. Mamy więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{3} = \frac{m}{n} \\
3 = \frac{m ^{2} }{n ^{2} } \\
3n^{2} = m^{2}}\)
Co oznacza, że liczba \(\displaystyle{ m^{2}}\) jest podzielna przez 3. Możemy więc zapisać to jako:
\(\displaystyle{ m^{2} = (3k)^{2} \\
3n^{2} = 9k^{2} \\
n^{2} = 3k^{2}}\)
Z czego wynika, że n jest również podzielne przez 3. Tym samym m i n są podzielne przez trzy, a przez to nie są względnie pierwsze, więc pierwiastek z trzech nie jest liczbą wymierną.
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stąd
- Podziękował: 25 razy
Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech
Hmm.. Zakładam, że m i n należą do zbioru liczb całkowitych oraz, że m i n są względnie pierwsze. Jest OK?
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech
A czy n może być zerem? Lepiej jest chyba dać założenie \(\displaystyle{ m,n \in N_{+}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stąd
- Podziękował: 25 razy
Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech
A czy \(\displaystyle{ m,n \in C \wedge m,n \neq 0}\) też może być?
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 13 sie 2008, o 13:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stąd
- Podziękował: 25 razy
Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech
Czyli to co napisałem wcześniej + te dwa założenia i dowód jest OK, tak?
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech
To samo, tylko trochę inaczej spojrzawszy: można używać faktu o pierwiastkach wielomianu (w który chyba w liceum się wierzy, ja to jeszcze miałem)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^2-3}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_0}\) ma pierwiastek wymierny, to licznik dzieli \(\displaystyle{ a_0}\) zaś mianownik dzieli \(\displaystyle{ a_n}\)
-- 4 paź 2009, o 15:53 --
Dla przykładu \(\displaystyle{ 4^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\) ale \(\displaystyle{ 4^2 \not = (8k)^2}\).
Również z punktu widzenia potencjalnej dalszej nauki warto zwrócić uwagę na tą własność liczb pierwszych.
\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^2-3}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_0}\) ma pierwiastek wymierny, to licznik dzieli \(\displaystyle{ a_0}\) zaś mianownik dzieli \(\displaystyle{ a_n}\)
-- 4 paź 2009, o 15:53 --
Nie czepiałbym się, ale widzę że chodzi o porządne rozpisywanie toku rozumowania. To nie jest poprawne przejście. Piszesz bowiem że \(\displaystyle{ 3|m^2}\) a zaraz później \(\displaystyle{ m=3k}\) czyli \(\displaystyle{ 3|m}\). Owszem, tak jest ale tylko dlatego że \(\displaystyle{ 3}\) jest liczbą pierwszą.Roaster pisze: 3n^{2} = m^{2}[/latex]
Co oznacza, że liczba \(\displaystyle{ m^{2}}\) jest podzielna przez 3. Możemy więc zapisać to jako:
\(\displaystyle{ m^{2} = (3k)^{2}}\) \
Dla przykładu \(\displaystyle{ 4^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\) ale \(\displaystyle{ 4^2 \not = (8k)^2}\).
Również z punktu widzenia potencjalnej dalszej nauki warto zwrócić uwagę na tą własność liczb pierwszych.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 28 sty 2010, o 19:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
Dowód na niewymierność pierwiastka z trzech
mam zadanie takei aby udowodnić ze pierwiastek z 13 jest liczbą niewymierną. morzna to zrobić za pomocąciągów??? Prosze o pomoc i dowód. Z góry dzięki