Twierdzenie: \(\displaystyle{ \sqrt{1+\sqrt{2}}}\) jest liczbą niewymierną.
Mój dowód (nie wprost):
Hipoteza: \(\displaystyle{ \sqrt{1+\sqrt{2}} = \frac{p}{q}}\), przy czym \(\displaystyle{ p , q \in Z \wedge q \neq 0.}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1+\sqrt{2}} = \frac{p}{q}}\)
\(\displaystyle{ 1+\sqrt{2} = \frac{p^2}{q^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{p^2}{q^2} -1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{p^2 - q^2}{q^2}}\)
Ostatnia równość dowodziłaby wymierności liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), a więc otrzymaliśmy sprzeczność, która kończy dowód - twierdzenie jest prawdziwe.
Czy dowód jest poprawny? Czy trzeba dodać do tego jeszcze jakiś komentarz?
Zastanawiam się, czy można tutaj założyć znajomość niewymierności pierwiastka z dwóch?
I przy okazji (nie wiem, gdzie powinnam umieścić to pytanie): co mam rozumieć przez zdanie: "x jest nieparzystą potęgą liczby naturalnej"? Czy to, że x można zapisać w postaci \(\displaystyle{ a^b}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in N}\) i b jest nieparzyste? Jeśli tak, to każda liczba naturalna będzie nieparzystą potęgą liczby naturalnej?
