Dowody z liczbami naturalnymi

[olówek14]

zad 1. udowodnij ze dla dowolnej liczby naturalnej m liczba \(\displaystyle{ 2m^{3}+ m}\) jest podzielna przez 3.
zad 2 udowodni ze rówanie "\(\displaystyle{ x^{2} - y^{2}= 1+ 2y - x}\) "nie ma rozwiązania w zbiorze liczb naturalnych
zad 3 udowodni ze dla każdego całkowitego n liczba \(\displaystyle{ n^{2} + 1}\) nie jest podzielna przez 3

mógł by mi ktoś pomuc ??
plis

[klaustrofob]

1. wiadomo, że dla dowolnej liczby naturalnej liczba \(\displaystyle{ m^3-m}\) jest podzielna przez 3 (dowód: \(\displaystyle{ m^3-m=m(m^2-1)=(m-1)m(m+1)}\), a z trzech kolejnych jedna jest podzielna przez 3, czyli iloczyn też). teraz: \(\displaystyle{ 2m^3+m=3m^3-(m^3-m)}\), a liczba po prawej, jako różnica dwóch podzielnych przez 3, też jest podzielna przez 3.

2. przepiszmy równanie jako \(\displaystyle{ x^2-x=y^2+2y+1}\) czyli \(\displaystyle{ x(x-1)=(y+1)^2}\). liczba po prawej jest kwadratem liczby naturalnej, zatem po lewej też musi być kwadrat. ale liczby x i (x-1) są względnie pierwsze, więc same muszą być kwadratami: \(\displaystyle{ x^2=a^2}\) i \(\displaystyle{ x-1=b^2}\) i a>b. ale to jest niemożliwe, bo wtedy byłoby \(\displaystyle{ x-(x-1)=1=a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\), bo a+b>1.

3. są trzy możliwości: albo n=3k, albo n=3k+1, albo n=3k+2. w pierwszym przypadku nie ma czego sprawdzać; w drugim jest \(\displaystyle{ n^2+1=9k^2+6k+1+1=3(3k^2+2k)+2}\) co nie jest podzielne przez 3. trzeci przypadek sprawdź sam.

[olówek14]

wielkie dzięki;D jak bedziesz w okolicach zamoscia masz u mnie piwo