Korzystają z zasady minimum udowodnić że \(\displaystyle{ \sqrt{2} \notin Q}\)
zasada minimum brzymi :Jeśli \(\displaystyle{ A \in N, A \neq}\) zbioru pustego, to w zbiorze A istnieje liczba najmniejsza
zasada minimum, pierwiastek z 2 nie należy do Q
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
zasada minimum, pierwiastek z 2 nie należy do Q
Na przykład tak:
Niech \(\displaystyle{ A=\left\{p+q:\quad \left(\frac{p}{q}\right)^2-2=0,\quad p,q\in\mathbb{N} \right\}}\).
Bierzemy więc wszystkie ułamki równe \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i rozważamy sumy liczników i mianowników.
Jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wymierny, to nasz zbiór nie jest pusty. Wybieramy najmniejszy element, równy \(\displaystyle{ p+q}\) dla pewnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ p,q}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ 2q^2=p^2}\). Stąd jednak \(\displaystyle{ 2|p^2 \ \Rightarrow 2|p}\), zatem
\(\displaystyle{ p=2p'}\) i \(\displaystyle{ 2p'^2=q^2}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ q+p' \in A}\), ale przecież \(\displaystyle{ q+p' < p+q}\),sprzeczność.
Pokazaliśmy więc, że zbiór sum licznika i mianownika wymiernych reprezentacji \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) nie ma elementu najmniejszego.
Tutaj niejako przez pewne przyporządkowanie zamieniliśmy pary liczb (ułamki) na jedną liczbę naturalną. Moglibyśmy również stosować zasadę minimum bezpośrednio do par (w rozwiązaniu też wybraliśmy w pewnym sensie "minimalny" ułamek) wymaga to jednak określenia porządku na parach liczb.
Niech \(\displaystyle{ A=\left\{p+q:\quad \left(\frac{p}{q}\right)^2-2=0,\quad p,q\in\mathbb{N} \right\}}\).
Bierzemy więc wszystkie ułamki równe \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i rozważamy sumy liczników i mianowników.
Jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wymierny, to nasz zbiór nie jest pusty. Wybieramy najmniejszy element, równy \(\displaystyle{ p+q}\) dla pewnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ p,q}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ 2q^2=p^2}\). Stąd jednak \(\displaystyle{ 2|p^2 \ \Rightarrow 2|p}\), zatem
\(\displaystyle{ p=2p'}\) i \(\displaystyle{ 2p'^2=q^2}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ q+p' \in A}\), ale przecież \(\displaystyle{ q+p' < p+q}\),sprzeczność.
Pokazaliśmy więc, że zbiór sum licznika i mianownika wymiernych reprezentacji \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) nie ma elementu najmniejszego.
Tutaj niejako przez pewne przyporządkowanie zamieniliśmy pary liczb (ułamki) na jedną liczbę naturalną. Moglibyśmy również stosować zasadę minimum bezpośrednio do par (w rozwiązaniu też wybraliśmy w pewnym sensie "minimalny" ułamek) wymaga to jednak określenia porządku na parach liczb.
-
paladin
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 24 sty 2005, o 22:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 19 razy
zasada minimum, pierwiastek z 2 nie należy do Q
Można zupełnie inaczej do tego podejść. Weźmy najmniejszy dodatni mianownik \(\displaystyle{ q}\), dla którego istnieje takie \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{p}{q}}\). Zauważmy przy tym, że ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{2}<2}\), mamy \(\displaystyle{ p<2q}\).
Ale wtedy \(\displaystyle{ p^2 = 2q^2}\), a stąd wynika, że \(\displaystyle{ \frac{p}{q} = \frac{2q-p}{p-q}}\). Czyli istnieje ułamek, który też jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), a ma mianownik \(\displaystyle{ p-q < q}\) - sprzeczność.
Ale wtedy \(\displaystyle{ p^2 = 2q^2}\), a stąd wynika, że \(\displaystyle{ \frac{p}{q} = \frac{2q-p}{p-q}}\). Czyli istnieje ułamek, który też jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), a ma mianownik \(\displaystyle{ p-q < q}\) - sprzeczność.