ilosc rozwiazan rownania diofantycznego w zaleznosci od n

[sirpaweleczek]

Witam!
Od pewneg czasu poszukuje infrmacji na temat ilosci rozwiazan rowniania difantycznego, ktore przedstawilem ponizej:

\(\displaystyle{ a+b^2+c^3+d^4=n}\)

w zlaeznosci od parametru \(\displaystyle{ n}\)
Prosze o podpowiedz co do rozwiazania.

[Maciej87]

No, to bardzo ciężka sprawa. Znane są np. opisy równań liniowych bądź drugiego stopnia z dwoma zmiennymi, ale to co Ty wymyśliłeś może w ogóle nie być rozpracowane... Bo takich i jeszcze bardziej skomplikowanych równań można całą masę wypisać.

[paladin]

Chyba tak źle nie jest Dla ustalonych \(\displaystyle{ b, c, d}\) istnieje dokładnie jedno \(\displaystyle{ a}\) takie, żeby suma się zgadzała. Rozwiązań jest zatem nieskończenie wiele.

Jeśli ograniczymy się do liczb nieujemnych, to \(\displaystyle{ b, c, d}\) muszą być nie za duże - liczba rozwiązań to jakaś taka nieprzyjemna suma, ale też nic odkrywczego.

[sirpaweleczek]

Ilość rozwiązań jest skończona dla określonego n
Tego akurat jestem pewien ...

[Dasio11]

Ale niewiadome to \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)? W takim razie, można sobie za \(\displaystyle{ b,c,d}\) podstawić COKOLWIEK, jak napisał paladin, i do nich dopasować \(\displaystyle{ a}\).

[Maciej87]

Raczej dajmy sobie z tym spokój, bo to za trudne jest.
Jakby się ograniczyć do liczb naturalnych, można wyprowadzać oszacowania zliczając punkty kratowe, np. całkując.
Weźmy takie równanie w liczbach naturalnych
\(\displaystyle{ a+b^2+c^2 = n}\)
\(\displaystyle{ b,c}\) są rozwiązaniami jeśli
\(\displaystyle{ b^2+c^2 \leqslant n}\), bowiem wtedy możemy dobrać- i to jednoznacznie \(\displaystyle{ a}\).
Ilość takich punktów możemy z grubsza porównywać z polem koła. W praktyce otrzymujemy, jak ktoś zauważył, paskudne sumy.
Powiedzmy że działamy w liczbach nieujemnych- żeby było skończenie wiele rozwiązań i dobrze się liczyło. Nasze równanie równoważne jest ilości rozwiązań
\(\displaystyle{ x^2+y^3+z^4 \leqslant n,\quad x,y,z \geqslant 0}\)
Liczymy więc punkty o współrzędnych całkowitych we wnętrzu powyższej bryły.

Nie znam się za dużo na takich metod, wiem że takie oszacowania się robi w podobnych przypadkach, i nie jest to trywialne, zwłaszcza pomniejszanie błędu przybliżenia.

Z kolei ilość rozwiązań równania

\(\displaystyle{ x^2+y^2=n}\)

daje się liczyć przez sztuczki związane z rozkładem w liczbach zespolonych całkowitych, czyli nie przez analizę a raczej algebrę.

Podsumowując, najpierw dołącz sobie warunki typu nieujemność, a potem ze względu na swobodny dobór zmiennej \(\displaystyle{ a}\) spróbuj policzyć punkty kratowe w bryle- można o tym coś poczytać. Może nie dokładnie, ale na pewno coś ci wyjdzie, na pewno jakiś rezultat asymptotyczny.